Middelpunten van een kegelsnede




In dit hoofdstuk beschouwen we alleen affiene kegelsneden

Middelpunt van een kegelsnede

Neem een vaste kegelsnede K. Elke reele pool van de oneigenlijke rechte is een middelpunt van K.

Gevolgen

Stelling 1

Als C(xo,yo,zo) het middelpunt is van de kegelsnede F(x,y,z) = 0, dan is xo,yo,zo een oplossing van Fx' (x,y,z) = 0 and Fy' (x,y,z) = 0.

Bewijs:

  1. Punt C is geen dubbelpunt
     
            C is geen dubbelpunt
    
    =>      De poollijn van C is de oneigenlijke rechte
    
    =>      x.Fx' (xo,yo,zo) + y.Fy' (xo,yo,zo) + z.Fz' (xo,yo,zo) = 0
            is 0.x + 0.y + 1.z = 0
    
    =>      Fx' (xo,yo,zo) = 0 en Fy' (xo,yo,zo) = 0
    
  2. Punt C is dubbelpunt
    Nu is het vanzelfsprekend dat Fx' (xo,yo,zo) = 0 en Fy' (xo,yo,zo) = 0

Stelling 2

Als xo,yo,zo een oplossing is van Fx' (x,y,z) = 0 en Fy' (x,y,z) = 0, dan is C(xo,yo,zo) een middelpunt van F(x,y,z) = 0.

Bewijs:

  1. Punt C is dubbelpunt
     
    =>      C is een pool van de oneigenlijke rechte
    
    =>      C is een middelpunt
    
  2. Punt C is geen dubbelpunt => Fz' (xo,yo,zo) is niet 0
     
            De poollijn van  C(xo,yo,zo) is
            x.Fx' (xo,yo,zo) + y.Fy' (xo,yo,zo) + z.Fz' (xo,yo,zo) = 0
    <=>
            De poollijn van  C(xo,yo,zo) is
            x.0 + y.0 + z.Fz' (xo,yo,zo) = 0
    <=>
            De poollijn van  C(xo,yo,zo) is
             z = 0
    
    =>      Punt C is middelpunt
    

Formule

Uit vorige stellingen volgt dat
 
        C is middelpunt van een kegelsnede F(x,y,z) = 0
<=>
        De coordinaten van C zijn oplossingen van het stelsel
                / Fx' (x,y,z) = 0
                \ Fy' (x,y,z) = 0



MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.