Kegelsnedenbundels




Een bundel kegelsneden

F1(x,y,z) = 0 en F2(x,y,z) = 0 zijn de vergelijkingen van twee kegelsneden welke geen componente gemeen hebben.
De verzameling van alle kegelsneden met vergelijking
 
         l F1(x,y,z) + m F2(x,y,z) = 0
noemen we een bundel kegelsneden. De reele getallen l en m zijn homogene parameters ( niet beide = 0 ).
Alle kegelsneden verschillend van F2(x,y,z) = 0, kunnen geschreven worden als
 
           F1(x,y,z) + h F2(x,y,z) = 0
waarin h een niet homogene parameter is.

Stelling 1

Als F1(x,y,z) = 0 en F2(x,y,z) = 0 de vergelijkingen zijn van twee niet ontaarde kegelsneden, dan is er altijd een reeel getal h zodat de kegelsnede F1(x,y,z) + h F2(x,y,z) = 0 ontaard is.

Bewijs:

 
Voor    F1(x,y,z) + h F2(x,y,z)  = 0 geldt:


        | a1 + ha2     b1"+ hb2"      b1'+ hb2'|
DELTA = | b1"+ hb2"    a1'+ ha2'      b1 + hb2 |
        | b1'+ hb2'    b1 + hb2       a1"+ ha2"|

<=>

        | ha2 + a1     hb2"+ b1"      hb2'+ b1'|
DELTA = | hb2"+ b1"    ha2'+ a1'      hb2 + b1 |
        | hb2'+ b1'    hb2 + b1       ha2"+ a1"|

<=>

        | ha2     hb2"+ b1"      hb2'+ b1'|  |a1     hb2"+ b1"      hb2'+ b1'|
DELTA = | hb2"    ha2'+ a1'      hb2 + b1 |+ |b1"    ha2'+ a1'      hb2 + b1 |
        | hb2'    hb2 + b1       ha2"+ a1"|  |b1'    hb2 + b1       ha2"+ a1"|

<=>

          |a2     hb2"+ b1"   hb2'+ b1'|  |a1     hb2"+ b1"  hb2'+ b1'|
DELTA = h |b2"    ha2'+ a1'   hb2 + b1 |+ |b1"    ha2'+ a1'  hb2 + b1 |
          |b2'    hb2 + b1    ha2"+ a1"|  |b1'    hb2 + b1   ha2"+ a1"|

<=>

          |a2     hb2"   hb2'+ b1'|  |a1  hb2"  hb2'+ b1'|
DELTA = h |b2"    ha2'   hb2 + b1 |+ |b1" ha2'  hb2 + b1 | +
          |b2'    hb2    ha2"+ a1"|  |b1' hb2   ha2"+ a1"|

          |a2    b1"   hb2'+ b1'|  |a1   b1"  hb2'+ b1'|
        h |b2"   a1'   hb2 + b1 |+ |b1"  a1'  hb2 + b1 |
          |b2'   b1    ha2"+ a1"|  |b1'  b1   ha2"+ a1"|

<=>

             |a2     b2"   hb2'+ b1'|    |a1  b2"  hb2'+ b1'|
DELTA = h2   |b2"    a2'   hb2 + b1 |+ h |b1" a2'  hb2 + b1 | +
             |b2'    b2    ha2"+ a1"|    |b1' b2   ha2"+ a1"|

          |a2    b1"   hb2'+ b1'|  |a1   b1"  hb2'+ b1'|
        h |b2"   a1'   hb2 + b1 |+ |b1"  a1'  hb2 + b1 |
          |b2'   b1    ha2"+ a1"|  |b1'  b1   ha2"+ a1"|

<=>

             |a2     b2"   hb2'|    |a1  b2"  hb2'|
DELTA = h2   |b2"    a2'   hb2 |+ h |b1" a2'  hb2 | +
             |b2'    b2    ha2"|    |b1' b2   ha2"|

          |a2    b1"   hb2'|  |a1   b1"  hb2'|
        h |b2"   a1'   hb2 |+ |b1"  a1'  hb2 | +
          |b2'   b1    ha2"|  |b1'  b1   ha2"|

             |a2     b2"   b1'|    |a1  b2"  b1'|
        h2   |b2"    a2'   b1 |+ h |b1" a2'  b1 | +
             |b2'    b2    a1"|    |b1' b2   a1"|

          |a2    b1"   b1'|  |a1   b1"  b1'|
        h |b2"   a1'   b1 |+ |b1"  a1'  b1 |
          |b2'   b1    a1"|  |b1'  b1   a1"|

<=>

             |a2     b2"   b2'|    |a1  b2"  hb2'|
DELTA = h3   |b2"    a2'   b2 |+ h |b1" a2'  hb2 | +
             |b2'    b2    a2"|    |b1' b2   ha2"|

          |a2    b1"   hb2'|  |a1   b1"  hb2'|
        h |b2"   a1'   hb2 |+ |b1"  a1'  hb2 | +
          |b2'   b1    ha2"|  |b1'  b1   ha2"|

             |a2     b2"   b1'|    |a1  b2"  b1'|
        h2   |b2"    a2'   b1 |+ h |b1" a2'  b1 | +
             |b2'    b2    a1"|    |b1' b2   a1"|

          |a2    b1"   b1'|  |a1   b1"  b1'|
        h |b2"   a1'   b1 |+ |b1"  a1'  b1 |
          |b2'   b1    a1"|  |b1'  b1   a1"|

Daar  F2(x,y,z) = 0 niet ontaard is, geldt

        |a2     b2"   b2'|
        |b2"    a2'   b2 | is not  0.
        |b2'    b2    a2"|
We hebben:
        DELTA = 0
<=>
             |a2     b2"   b2'|    |a1  b2"  hb2'|
        h3   |b2"    a2'   b2 |+ h |b1" a2'  hb2 | +
             |b2'    b2    a2"|    |b1' b2   ha2"|

          |a2    b1"   hb2'|  |a1   b1"  hb2'|
        h |b2"   a1'   hb2 |+ |b1"  a1'  hb2 | +
          |b2'   b1    ha2"|  |b1'  b1   ha2"|

             |a2     b2"   b1'|    |a1  b2"  b1'|
        h2   |b2"    a2'   b1 |+ h |b1" a2'  b1 | +
             |b2'    b2    a1"|    |b1' b2   a1"|

          |a2    b1"   b1'|  |a1   b1"  b1'|
        h |b2"   a1'   b1 |+ |b1"  a1'  b1 |    = 0
          |b2'   b1    a1"|  |b1'  b1   a1"|
Deze vergelijking is van de derde graad en heeft dus steeds een reele wortel.

Stelling 2

Twee kegelsneden welke geen componente gemeen hebben, hebben 4 punten gemeen.

Bewijs:

Opm : Van deze gemene punten zijn er geen 3 collineair want de twee beschouwde kegelsneden hadden geen componente gemeen.

Basispunten en Basis exemplaren in een bundel

Neem F1(x,y,z) = 0 en F2(x,y,z) = 0 als vergelijkingen van twee kegelsneden K1 en K2 met geen componente gemeen.
Elke kegelsnede van de bundel
 
         l F1(x,y,z) + m F2(x,y,z) = 0
gaat door de 4 gemene punten van K1 en K2. Deze 4 gemene punten zijn gemeenschappelijk aan alle kegelsneden van de bundel. Ze worden de 4 basispunten van de bundel genoemd. De kegelsneden K1 en K2 noemen we basis exemplaren van de bundel.

Twee willekeurige kegelsneden van de bundel gaan door de 4 punten. Deze twee kegelsneden kunnen gekozen worden als basis exemplaren van de bundel.

Juist 1 kegelsnede door 1 vast gekozen punt.

Zij P een willekeurig maar vast punt verschillend van de basispunten van een bundel. Er gaat juist 1 kegelsnede van de bundel door dit punt P.

Het bewijs hiervan beschouwen we als een oefening.

Ontaarde kegelsneden in een bundel

Stelling:
Als er in een bundel minstens 1 niet ontaarde kegelsnede voorkomt, dan is er minstens 1 en maximum 3 ontaarde exemplaren in die bundel.

Bewijs:
Neem de bundel met basis exemplaren F1(x,y,z) = 0 en F2(x,y,z) = 0. Zij F2(x,y,z) = 0 niet ontaard. Een element van de bundel verschillend van F2 heeft vergelijking

 
           F1(x,y,z) + h F2(x,y,z) = 0
Uit een hoger vermelde berekening weten we dat DELTA van die kegelsnede kan geschreven worden als een veelterm van de derde graad in h.

Het aantal h-waarden zodat DELTA=0 is dan minstens 1 en maximum 3.

Kegelsnede door 5 punten

Neem 5 punten zodat er geen 3 collineair zijn. 4 van deze punten bepalen juist 1 bundel. Uit deze bundel is er juist 1 exemplaar dat door het vijfde punt gaat.

Cirkelbundels

Als de basis-exemplaren van een bundel cirkels zijn, dan zijn alle exemplaren cirkels behalve 1 exemplaar.

Het bewijs hiervan beschouwen we als een oefening.


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.