Asymptoten




Een asymptoot

Zij P een veranderlijk punt van kromme C. Een rechte d is asymptoot van een kromme C als en slechts als de limiet van de afstand van P tot d nul is, wanneer P zich langs de kromme naar oneindig verplaatst.
We zeggen dat C een asymptoot d heeft.

Asymptoten en functies

Als de grafiek van een functie een asymptoot d heeft dan zeggen we ook dat de functie een asymptoot d heeft.
Een functie kan meer dan 1 asymptoot hebben.
Als een asymptoot evenwijdig is met de y-as spreken we van een verticale asymptoot.
Als een asymptoot evenwijdig is met de x-as spreken we van een horizontale asymptoot
Alle andere asymptoten zijn schuine asymptoten. We beschouwen hier enkel functies die continu zijn in hun domein.

Verticale asymptoten

Steunend op de definitie :
 
Een rechte x = a is een verticale asymptoot van een functie  f(x)
                <=>
(lim f(x) = +infty  of -infty ) of (lim f(x) = +infty  of -infty )
 > a                                < a

Voorbeelden

 
     x+4                                                   x+4
lim ----- = -infty , dus x = 3 is verticale asymptoot van -----
< 3  x-3                                                   x-3

     x+4                                                   x+4
lim ----- = -infty , dus  x = 3  is verticale asymptoot van -----
> 3  x-3                                                   x-3

     x.x + 3x + 2
lim -------------- = -1 , dus  x = -2 is geen verticale asymptoot
-2      x + 2


 lim    tan(x) = +infty , dus x = pi/2  is een verticale asymptoot van  tan(x)
< pi/2

De functie  tan(x) heeft veel verticale asymptoten.

Horizontale asymptoten

Steunend op de definitie :
 
Een rechte y = b is een horizontale asymptoot van een functie f(x)
                <=>
 lim f(x) = b  of   lim f(x) = b    met  b in R
+infty             -infty

Voorbeelden :

 
     3x2 - 4x -1
lim  -------------- = 0.5
infty   6x2 - 6
                                                    3x2 - 4x -1
 y = 0.5 is horizontale asymptoot van de functie    -------------
                                                       6x2 - 6

          _______                         _______
         |  2                            |  2
        \| x  - 1                       \| x  - 1
 lim   -------------- = 1  en    lim   -------------- = -1
+infty    x - 1                 -infty    x - 1

Dus, y = 1 en  y = -1 zijn horizontale asymptoten.

Schuine asymptoten

Algemene formules

Elke schuine asymptoot heeft een vergelijking van de vorm y = ax + b. Hierin zijn a en b onbekende reele getallen. We zullen formules opstellen die ons in staat stellen a en b te berekenen met behulp van f(x).

 
        y =  ax + b is schuine asymptoot d

                <=>

                lim |P,Q| = 0
             P->infty

                <=>

                lim |P,Q| = 0
              x-> infty
                              in driehoek PQS is |P,Q|=|P,S|.sin(PSQ)
                <=>

                lim |P,S|.sin(PSQ) = 0
              x-> infty

                        daar  sin(PSQ)  constant is en niet 0
                <=>

                lim |P,S| = 0
              x-> infty

                        daar |P,S| = |f(x) - ax - b|
                <=>

                 lim  |f(x) - ax - b| = 0
              x-> infty

                <=>

                 lim  f(x) - ax - b = 0         (*)
              x-> infty

Uit (*) halen we de formule voor a
 
                    f(x) - ax - b
        (*) => lim ----------------- = 0
              infty      x


                        <=>

                    f(x)                b
                lim ---- - lim a - lim ---  = 0
             infty   x                  x

                        <=>


                     f(x)
                (lim ---- ) -  a = 0
               infty  x

                        <=>


                    f(x)
                lim ----  =  a                  (1)
              infty  x

Met (*) maken we de formule voor b.
 
        (*) => lim (f(x) - ax ) = b             (2)
               infty
Daar we a reeds kennen uit (1), kunnen we b uit (2) berekenen.

 
    y = ax + b is een schuine asymptoot van de kromme y=f(x)

                 als en slechts als

                    f(x)
            a = lim ----
              infty  x

         en  b =  lim (f(x) - ax )
                 infty

Over schuine asymptoot van een rationale functie

We stellen de rationale functie f(x) voor door t(x)/n(x), waarin t(x) en n(x) veeltermen zijn in x.
  1. Als de graad van de teller t(x) minstens twee eenheden hoger is dan de graad van de noemer n(x) dan is
     
                        f(x)
                    lim ---- = oneindig
                  infty  x
    
    Dan is er geen schuine asymptoot.
  2. Als de graad van de teller t(x) kleiner of gelijk is aan de graad van de noemer n(x) dan is
     
                        f(x)
                    lim ---- = O
                  infty  x
    
    Dan is er geen schuine asymptoot.
  3. Als de graad van de teller t(x) juist 1 eenheid groter is aan de graad van de noemer n(x) dan is
     
                        f(x)
               a =  lim ---- = een eindig getal niet nul
                  infty  x
    
    Dan is er een schuine asymptoot.

Concrete voorbeelden:

 
   3x3 + 2x +1
   ------------- heeft geen schuine asymptoot
     6 x + 5

   3x3 + 2x +1
   --------------- heeft geen schuine asymptoot
     6 x3 + 5x


   3x3 + 2x +1
   ------------- heeft een  schuine asymptoot
     6 x2 + 5

   We berekenen die schuine asymptoot met de algemene formules

             3x3 + 2x +1
   a = lim ------------------ = 1/2
      infty   6 x3 + 5x


               3 x3 + 2x +1          x
   b =  lim ( ----------------- -  ----- )
       infty   6 x2 + 5              2



                -x  + 2
     =  lim  -------------- = 0
       infty        2
                12 x  + 10

   De schuine asymptoot is y = x/2

Eenvoudige methode voor een rationale functie.

We veronderstellen hier dat de schuine asymptoot bestaat. Dus de graad van de teller is juist 1 eenheid hoger dan de graad van de noemer.

Men kan de schuine asymptoot van die rationale functie t(x)/n(x) op een tweede manier berekenen. Daartoe maakt men de euclidische deling van t(x) en n(x).

We zullen nu aantonen dat het quotiënt van die deling juist die schuine asymptoot oplevert.

Bewijs:

Tussen deeltal t(x) , deler n(x) , quotiënt q(x) en rest r(x) bestaat volgend verband

 
           t(x)           r(x)
          ----- = q(x) + ------
           n(x)           n(x)
Het quotiënt is van de eerste graad in x.

De grafiek van de rationale functie bestaat dus uit de som van twee delen.
Het eerste deel stelt grafisch een rechte voor. In het tweede deel is de graad van r(x) is kleiner dan de graad van de deler n(x). Dit betekent dat de limiet van dit tweede deel nul is, als x -> oneindig.
Met andere woorden: de grafiek van de gegeven rationale functie nadert tot de rechte y= q(x) als x -> oneindig. Dus y = q(x) is de schuine asymptoot.

Concreet voorbeeld: We hernemen

 
        3x3 + 2x +1
  y =   -------------
          6 x + 5


  Het quotiënt van de deling van x3 + 2x +1 en  6 x + 5 is x/2

  De schuine asymptoot is y = x/2
Hieruit volgt een algemene regel:

Een rationale functie heeft een schuine asymptoot als en slechts als de graad van de teller juist 1 eenheid hoger is dan de graad van de noemer. De euclidische deling van de teller door de noemer levert een quotiënt van de vorm ax+ b.
De schuine asymptoot van die rationale functie is dan y = ax + b.

Voorbeeld 1 :

Bereken de schuine asymptoot van
 
           7 x4 - 3 x2 + x
  f(x) = --------------------
          3 x3 - 2x2 + 4
We maken de euclidische deling van de teller door de noemer en krijgen als quotiënt (7/3) x + 14/9.
De vergelijking van de schuine asymptoot is y = (7/3) x + 14/9.

Voorbeeld 2 :

 
              ________
             |  2
Neem f(x) = \| x  - 1  + 2

We berekenen a en b.
We laten eerst x -> + infty . ________ | 2 \| x - 1 + 2 a = lim ------------------ x __________ | \| 1 - 1/x2 + 2/x = lim ----------------------- = 1 1 ________ | 2 b = lim \| x - 1 + 2 - 1.x (sqrt(x2 -1) - x )( sqrt(x2 -1) + x) = lim --------------------------------------- + 2 sqrt(x2 -1) + x x2 - 1 - x2 = lim ----------------------------- + 2 sqrt(x2 -1) + x -1 = lim --------------------- + 2 sqrt(x2 -1) + x = 2 De asymptoot is y = x + 2 als x -> + infty We laten nu x -> - infty . ________ | 2 \| x - 1 + 2 a = lim ------------------ x __________ | - \| 1 - 1/x2 + 2/x = lim ----------------------- = -1 1 ________ | 2 b = lim \| x - 1 + 2 +1.x (sqrt(x2 -1) + x )( sqrt(x2 -1) - x) = lim --------------------------------------- + 2 sqrt(x2 -1) - x x2 - 1 - x2 = lim ----------------------------- + 2 sqrt(x2 -1) - x -1 = lim --------------------- + 2 sqrt(x2 -1) + x = 2 De asymptoot is y = - x + 2 als x -> - infty
Alternatieve methode:

Als x nadert naar +oneindig, dus voor zeer grote waarden van x , liggen de grafieken van

 
              ________
             |  2
     f(x) = \| x  - 1  + 2
en
              _____
             |  2
     g(x) = \| x       + 2
oneindig dicht bij elkaar omdat het getal -1 vrijwel geen invloed meer heeft.
Maar g(x) is niets anders dan de rechte y = x+2. Dus y = x+2 is de schuine asymptoot als x nadert naar +oneindig.

Als x nadert naar -oneindig, liggen de grafieken van

 
              ________
             |  2
     f(x) = \| x  - 1  + 2
en
              _____
             |  2
     g(x) = \| x       + 2   maar x is nu negatief en dus


          = - x + 2
oneindig dicht bij elkaar omdat het getal -1 vrijwel geen invloed meer heeft.
Maar g(x) is niets anders dar de rechte y = - x + 2. Dus y = - x+2 is de schuine asymptoot als x nadert naar -oneindig.

Voorbeeld 3 :

We bereken de schuine asymptoot van de volgende functie als x nadert tot -oneindig

 
    x2 + x -2
   -----------------
   sqrt(x2 - x - 2)
De schuine asymptoot is van de vorm y = ax+b. We berekenen a en b. Alle limieten hieronder gelden voor x --> - oneindig.
 

             x2 + x -2
  a = lim -------------------
          x sqrt(x2 - x - 2)


           1 + 1/x - 2/x2
   =  lim ----------------------
          - sqrt(1 -1/x - 2/x2)

   = -1

              x2 + x -2
  b = lim (------------------- + x)
             sqrt(x2 - x - 2)

            x2 + x -2 + x sqrt(x2 - x - 2)
    = lim ---------------------------------
               sqrt(x2 - x - 2)


           ( x2 + x -2 + x sqrt(x2 - x - 2)) ( x2 + x -2 - x sqrt(x2 - x - 2))
    = lim --------------------------------------------------------------------------
           sqrt(x2 - x - 2) ( x2 + x -2 - x sqrt(x2 - x - 2))


           (x2 + x -2)2  - x2 (x2 - x - 2)
    = lim ----------------------------------------------------------
           sqrt(x2 - x - 2) ( x2 + x -2 - x sqrt(x2 - x - 2))


                 3 x3 - x2 - 4x -4
    = lim ----------------------------------------------------------
           sqrt(x2 - x - 2) ( x2 + x -2 - x sqrt(x2 - x - 2))

 We delen teller en noemer door x3

             3 - 1/x - 4/x2 - 4/x3
    = lim --------------------------------------------------------------
           -sqrt(1 - 1/x - 2/x2) (1 + 1/x -2/x2 +sqrt( 1 - 1/x -2/x2))



    =  3/(-2)

De schuine asymptoot is y = - x -3/2

Voorbeeld 4 :

Bereken de schuine asymptoot van f(x) = (3x + 3x2 + x3)1/3 als x nadert naar +oneindig.
Alhoewel deze asymptoot met de gewone methode kan berekend worden is het rekenwerk tamelijk uitgebreid. Daarom tonen we hier twee andere methodes. Een eerste weg welke gebruik maakt van een translatie en een tweede weg welke minder streng wiskundig kan genoemd worden.

f(x) = (3x + 3x2 + x3)1/3
We weten 1 + 3x + 3x2 + x3 = (1 + x)3 dus is
f(x) = ( (x + 1)3 - 1)1/3
We schuiven nu de grafiek van f(x) juist 1 eenheid naar rechts. We krijgen een nieuwe functie
g(x) = ( x3 - 1)1/3
We berekenen de schuine asymptoot y = ax + b van g(x) als x nadert naar +oneindig.

 
         ( x3 - 1)1/3
 a = lim -------------
              x

            x3 - 1
   = lim (--------- )1/3
              x3

                 1
   = lim ( 1 - ---- )1/3
                x3

   = 1


 b = lim ( ( x3 - 1)1/3 - x )

We vermenigvuldigen teller en noemer met de vorm

      ( x3 - 1)2/3 +  ( x3 - 1)1/3.x + x2

We verkrijgen dan
                    (x3 - 1) - x3
 b = lim  --------------------------------------------------
           ( x3 - 1)2/3 +  ( x3 - 1)1/3.x + x2

                           -1
   = lim  -----------------------------------------------
           ( x3 - 1)2/3 +  ( x3 - 1)1/3.x + x2

   = 0
De schuine asymptoot van g(x) is y = x.
Als we nu weer g(x) juist 1 eenheid naar links schuiven dan krijgen we voor de gevraagde asymptoot y = x + 1.

-----------------------

Nu de alternatieve weg.
We berekenen de schuine asymptoot van f(x) = (3x + 3x2 + x3)1/3 als x nadert naar +oneindig.
Dus de schuine asymptoot van f(x)= ( (x + 1)3 - 1)1/3 als x nadert naar +oneindig.
We schuiven nu de grafiek van f(x) juist 1 eenheid naar rechts. We krijgen een nieuwe functie
g(x) = ( x3 - 1)1/3
Als x nadert naar +oneindig, dus voor zeer grote waarden van x , liggen de grafieken van y =( x3 - 1)1/3 en y =( x3)1/3 oneindig dicht bij elkaar omdat het getal -1 vrijwel geen invloed meer heeft.
Maar y = ( x3)1/3 is niets anders dan de rechte y = x.
De rechte y = x is dus schuine asymptoot van y =( x3 - 1)1/3.
Als we nu weer g(x) juist 1 eenheid naar links schuiven dan krijgen we voor de gevraagde asymptoot y = x + 1.

Voorbeeld 5 :

Bereken de schuine asymptoten van y = 2x - 4 arctan(x)

We berekenen a en b.
We laten eerst x -> + oneindig .

 
          2x - 4 arctan(x)
a = lim --------------------
               x

                  arctan(x)
  = lim ( 2 - 4 ----------- )  = 2
                     x

b = lim ( -4  arctan(x) ) = -2 pi
De schuine asymptoot is y = 2 x - 2 pi

Daar de gegeven functie een oneven functie is, is de grafiek symmetrisch t.o.v. de oorsprong (0,0).

Daardoor is de tweede asymptoot y = 2 x + 2 pi

Voorbeeld 6 :

Bereken alle asymptoten van y = arcsin(1-x2)

Daar het bereik van de functie [-pi/2, pi/2] is, kan er geen verticale en geen schuine asymptoot voorkomen.

Daar het domein van de functie [-sqrt(2), sqrt(2)] is, zijn er geen horizontale asymptoten.




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.