Assen van affien kegelsneden




In dit hoofdstuk werken we in een orthonormaal assenstelsel.

Hoofdrichting van een kegelsnede

Een richting heet hoofdrichting van een kegelsnede als en slechts als die richting en de orthogonale richting toegevoegd zijn ten opzichte van die kegelsnede.

Hoofdrichting - formule

 
        richting  (r,s,0) is een hoofdrichting
<=>
        (r,s,0) and (-s,r,0) zijn toegevoegde richtingen
<=>
        a r(-s) + b"(r.r - s.s) + a' s r = 0
<=>
        b" r2 + (a' - a) r s - b" s2 = 0
Als r niet 0 is, dan is m = s/r de rico van de richting. Dan hebben we de formule
 
        b" + (a' - a) m - b" m2  = 0

Aantal hoofdrichtingen

  1. Cirkel
     
            Bij een cirkel is a = a' en  b" = 0
    
    De formule geldt voor elke richting. Elke richting is een hoofdrichting.
  2. Kegelsneden verschillend van een cirkel
Opm :
De hoofdrichtingen van een parabool zijn de richting van het oneigenlijk punt van de parabool en de richting er loodrecht op.

Verband tussen hoofdrichtingen en eigenvectoren

Onderstel dat de kegelsnede geen cirkel is.
 
        (r,s,0) is hoofdrichting
<=>
        (r,s,0) and (-s,r,0) zijn toegevoegde richtingen
<=>
        -s. Fx' (r,s,0) + r. Fy' (r,s,0) = 0
<=>
        Er is een reeel getal h zodat
                / Fx' (r,s,0) = h.r
                \ Fy' (r,s,0) = h.s
<=>
        Er is een reeel getal h zodat
                / a r + b" s = h r
                \ b"r + a' s = h s
<=>
        Er is een reeel getal h zodat
                [a   b"][r]     [r]
                [b"  a'][s] = h [s]
<=>
        De hoofdrichtingen zijn de richtingen gedefinieerd door
        de eigenvectoren van de matrix
                [a   b"]
                [b"  a']

Assen van een kegelsnede

Een as van een kegelsnede is een eigenlijke middellijn met als richting een hoofdrichting en welke poollijn is van de richting er loodrecht op.

Top van een kegelsnede

Een top van een kegelsnede is het eigenlijk snijpunt van de kegelsnede met een as van die kegelsnede.


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.