Oefeningen over maximum, minimum, buigpunten, asymptoten, ...




Lees eerst dit:

Deze oefeningen steunen op de theorie welke uiteengezet werd op de pagina
Asymptoten
en op de pagina
Afgeleiden ; limieten (II) ; maximum, minimum; buigpunten.

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Er werd geen poging ondernomen om de meest elegante oplossing te geven.
Het wordt sterk aangeraden, tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem, voordat je de gegeven oplossing leest.

Oefeningen over maximum, minimum, buigpunten, ...

Niveau 2 problemen


    1. Wat is de maximale en minimale waarde van cos(x)+sin(x)
    2. Als gegeven is dat tan(pi.cos(x)) = cot(pi.sin(x)).
      Wat zijn dan de mogelijke waarden van cos(x) + sin(x) ?


  1. Bereken het aantal verticale asymptoten van f(x) = tan(x) + cot(x) in het interval [10,100].


  2.  
    Toon aan dat er een reeel getal r bestaat zo dat voor alle x
    
                      _______
                     | a + x      1          x
             arctan( | ----- ) =  - . arcsin(-) + r
                    \| a - x      2          a
    
    Het getal a is een strikt positief reeel getal.
    
    Bereken daarna de waarde van r.
    


  3. Bereken de voorwaarde voor de reele parameter h opdat de volgende functie een minimum en een maximum zou hebben.
     
                    h + 3x - x2
            f(x) = ---------------
                       x - 4
    


  4. Herneem vorige oefening en neem h < 4. Onderzoek het aantal snijpunten van f(x) met de rechte y = k. Leidt hieruit het verschil af tussen maximum en minimum waarde van f(x).


  5. Bereken de buigpunten van y = (x + 1)/(x2 + 1)


  6.  
    Bereken de buigpunten van
    
            y = sin(2x)+3sin(2x/3) in [0,3pi/2].
    
                                             3
            hint : sin(3t) = 3.sin(t) - 4 sin (t)
    


  7.  
    Bereken de buigpunten van  y = e2x - 5 ex +6
    


  8.  
    Bestudeer het verloop van  f(x) = (x2 - x)2
    
    Geef het aantal snijpunten van de kromme met de rechte y = m.
    


  9.  
     f(x) = arcsin(tan(x/pi))
    
    Bereken
    1. periode van f(x)
    2. bereik van f(x)
    3. domein van f(x)


  10. In een orthonormaal assenstelsel nemen we een vaste cirkel C1, door de oorsprong O en met middenpunt (m,0) met m > 0.
    Een tweede vaste cirkel C2 door O heeft middelpunt (-n, 0) met n > 0.
    De rechte d heeft vergelijking y = x tan(t) met variabele t zodat 0 < t < pi/2.
    De rechte d' heeft vergelijking y = x tan(t + a) met constante a zodat pi/2 < a < pi.
    De rechte d snijdt de cirkel C1 een tweede keer in punt A en de rechte d' snijdt de cirkel C2 een tweede keer in punt B.

    Gevraagd:

    1. Maak een duidelijke figuur
    2. Bereken de oppervlakte van de driehoek OAB in functie van t.
    3. Bereken t zodat die oppervlakte maximaal is.
    4. Welke speciale stand hebben d en d' op het ogenblik van die maximale oppervlakte.

Niveau 3 problemen


  1. De kromme F is een cirkel met straal r en middelpunt O. AB is een middellijn met punten A en B op F. De lijn CD is evenwijdig met AB met punten C en D op F, zo dat ACDB een gelijkbenig trapezium is ( |AC| = |DB| ). De hoek (DOC) = 2t radialen.
    Bereken de oppervlakte van het trapezium als een functie van t.
    Bereken de waarde van t zo dat die oppervlakte maximaal wordt.


  2. Een functie y = f(x) wordt impliciet gedefinieerd door y -x - sqrt(y.y + 2(x - 1)y + 4x) = 0
    • Bereken f(x)
    • Wat is het domein van de functie f?
    • Bereken de maxima en minima


  3.  
    Voor welke waarden van m zullen de asymptoten van de kromme
                2(m-1)x - m + 1
            y = ----------------
                 (m+3)x + m
    snijden in een punt boven de rechte  y = 2x-1
    


  4.  
    Onderzoek of x=0 een verticale asymptoot is van de grafiek van
                arcsin(2x) - 2 arcsin(x)
            y = -------------------------
                        x3
    


  5.  
    Bereken de horizontale asymptoot van
    
                    sin(1/x)
             y = ----------------
                    arctan(1/x)
    
    


  6. Gegeven is een convexe vierhoek ABCD waarvan de vier zijden respectievelijk een vaste lengte a, b, c en d hebben. Toon aan dat de vierhoek een maximale oppervlakte heeft als en slechts als de vierhoek een koordenvierhoek is.

Externe link naar opgeloste oefeningen over minimum en maximum vraagstukken

minimum en maximum vraagstukken


MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.