Oefeningen omtrent matrices , determinanten en stelsels




Lees eerst dit

Deze oefeningen steunen op de theorie welke uiteengezet werd op de pagina Matrices deel I en vooral op de pagina Stelsels lineaire vergelijkingen, Matrices, Determinanten

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Er werd geen poging ondernomen om de meest elegante oplossing te geven.
Het wordt sterk aangeraden tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem voordat je de gegeven oplossing leest.

Oefeningen

Niveau 2 oefeningen


  1.  
    A en B zijn n x n matrices. Onderzoek of
    
            (A + B)2  = A2 + 2.A.B + B2
    


  2.  
    We zeggen dat twee matrices A en B commuteren als en slechts als AB = BA.
    
    Taan aan dat alle matrices van de vorm
    
            [a   -b]
            [b    a]
    
    commuteren.
    


  3.  
    Toon aan dat voor elke n x n matrix A, de matrix  AT .A symmetrisch is.
    


  4.  
    Toon aan dat als A scheef symmetrisch is, A.A symmetrisch is.
    


  5.  
    Gegeven  X = [x  y] en A is een  2 x 2 matrix .
    
    Alle elementen van de matrices zijn reeel.
    
    onderzoek of   X . AT . A . XT  negatief kan zijn.
    


  6. Voor welke waarden van a en b heeft het stelsel geen oplossingen
     
    / ax + y + 2z = 0
    | x + 2y + z = b
    \ 2x + y + az = 0
    


  7. Voor welke waarden van m heeft het volgend stelsel oneindig veel oplossingen?
     
    / (m+2)x + 2y + 4z = 3m
    | -mx + 5y + 2mz = -2m
    \ 2x + 7y + 6z = 1
    


  8.  
    
               [   1        m - 1      2 m - 3  ]
           A = [   m        2 m - 2      2      ]
               [ m + 1      3 m - 3    m.m - 1  ]
    
    Bereken  de voorwaarde voor m opdat die matrix regulier zou zijn.
    
    
    Veronderstel nu  dat m aan die voorwaarde voldoet en bekijk het stelsel
    met A als coefficientenmatrix.
    
            /     x  + (m - 1)y     + (2 m - 3)z    = 1
            |
            |    m x + (2 m - 2)y   +    2  z       = 0
            |
            \ (m + 1)x + (3 m - 3)y + (m.m - 1)z    = 0
    
    Neem nu x=1 en bereken de waarden van m zodat dit stelsel een
    oplossing heeft voor y en z.
    
    


  9.  
    De matrix x is een 2 x 2 matrix.
    Bereken drie oplossingen van
            x2  -  x = 0
    

Niveau 3 oefeningen


  1.  
    
               [-2     -9 ]                 n   [1-3n   -9n ]
    Geg:   A = [          ] . Toon aan     A  = [           ]
               [ 1      4 ]                     [ n    1+3n ]
    


  2.  
    
                    [1   1   0 ]
    Gegeven:   A =  [0   1   0 ]
                    [0   0   1 ]
    
    Toon aan dat A regulier is.
    
               n
    Bereken   A .
    
    
    Bereken de reele getallen a en b zo dat
    
                    A2  + a A + b I = 0  ( I is de 3 x 3 eenheidsmatrix)
    
    Toon aan dat er reele getallen    c0,c1,c2, ... ,cn zijn zo dat
    
    A-n  = c0.I + c1.A2  + c2.A3 +  c3.A4  + c4.A  +  ...  + cn.An
    




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.