Oefeningen omtrent lineaire transformaties




Lees eerst dit:

Deze oefeningen steunen op de theorie welke uiteengezet werd op de pagina Lineaire transformaties

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Veel oefeningen kunnen op verschillende manieren worden opgelost. Het wordt sterk aangeraden tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem voordat je de gegeven oplossing leest.

Oefeningen omtrent lineaire transformaties

Niveau 1 problemen


  1. Is de volgende transformatie lineair
     
            t : R x R --> R x R : (x,y) --> (2x - y, 0)
    


  2. Zoek de matrix van de volgende lineaire transformaties ten opzichte van een natuurlijke basis.
     
    
            t1: R x R --> R x R : (x,y) --> (2x - y, 0)
    
            t2: R x R --> R x R : (x,y) --> (2x - y, x)
    
            t3: R x R x R --> R x R x R: (x,y,z) --> (2x - y, 0, y +z)
    
            t4: R x R x R --> R x R x R: (x,y,z) --> (0, 0,y)
    


  3. Zij t een lineaire transformatie van V.
    M is de verzameling van alle dekpunten van t.

    Toon aan dat M een deelruimte is van V.



  4. Zij V de reele vectorruimte met als vectoren de complexe getallen. Als basis kiezen we het koppel vectoren (1,i). t is een lineaire transformatie van V met matrix
     
      [ 3   1 ]
      [ 4   3 ]
    
    Bereken de dekpunten van t.


  5. In een de vectorruimte V = R2 nemen we een natuurlijke basis.
    Zoek het beeld van de vector (-2,4) ten opzichte van de volgende lineaire transformaties.
    Doe dit eerst zonder de matrix en daarna met de matrix van t.
     
    
            t1 : R x R --> R x R : (x,y) --> (2x - y, 0)
    
            t2 : R x R --> R x R : (x,y) --> (2x - y, x)
    


  6. Neem in het vlak een vaste oorsprong O en als basis van alle vectoren van het vlak nemen we twee orthogonale eenheidsvectoren e1 en e2.

    Een homothetie h met centrum O en een reele factor k is een transformatie van het vlak welke elke vector v omzet in de vector k.v.

    Toon aan dat een homothetie een lineaire transformatie is en bepaal de matrix ervan ten opzichte van de basis (e1, e2).

    Welke vectoren zijn eigenvectoren van h?



  7. V is de vectorruimte van alle koppels reele getallen. We definieren een transformatie t van V zodat het koppel (x,y) getransformeerd wordt in koppel (2x+3y,x-2y).
    1. Toon aan dat t een lineaire transformatie is
    2. Kies in V de natuurlijke basis ((1,0), (0,1)). Bepaal de matrix A van t.
    3. Kies in V een nieuwe basis ((2,-1), (3,0)) en neem de vector v=(7,3) uit V.
      Wat zijn de coordinaten van v ten opzichte van de nieuwe basis.
    4. Bepaal de matrix B van t ten opzichte van die nieuwe basis.
    5. Wat zijn de coordinaten van t(v) ten opzichte van de nieuwe basis en schrijf het verband tussen die coordinaten en t(v).


  8. Bereken de eigenwaarden en eigenvectoren van
     
            t1 : R x R --> R x R : (x,y) --> (2x - y, 0)
    
            t2 : R x R --> R x R : (x,y) --> (2x - y, x)
    
            t3 : R x R x R --> R x R x R: (x,y,z) --> (2x - y, 0, y +z)
    
            t4 : R x R x R --> R x R x R: (x,y,z) --> (0, 0,y)
    


  9. Neem in het vlak een vaste oorsprong O en als basis van alle vectoren van het vlak nemen we twee orthogonale eenheidsvectoren e1 en e2.
    De lineaire transformatie t1 is de loodrechte spiegeling om de rechte met vergelijking y = x.
    De lineaire transformatie t2 is de loodrechte projectie op de x-as.
    Zij t = t2 o t1

    Bereken de matrix en de eigenvectoren van de transformatie t



  10. Een lineaire transformatie heeft een matrix
     
      [ 1-m    2   4 ]
      [  3    -1   0 ]
      [  m     m  -2 ]
    
    Voor welke waarden van m is de kern van de transformatie verschillend van {0}.
    Bereken de kern voor de gevonden waarden van m.


  11. In V = R2 nemen we een natuurlijke basis B. De verzameling S = { (3 r, 7 r) | r in R en r niet 0} is een verzameling eigenvectoren van de lineaire transformatie t.

    We nemen in V een nieuwe basis B. De basisvectoren zijn (3,-1) en (2,-1). Bereken de verzameling van de coordinaten van de eigenvectoren uit S ten opzichte van de nieuwe basis B.



  12. Neem twee vectoren v en w van een vectorruimte V. t is een lineaire transformatie van V.

    Toon aan dat:
    t(v) = t(w) <=> v - w is in ker(t)



  13. t is een lineaire transformatie van een vectorruimte V.
    u(-1,1) is een dekpunt van t.
    v(2,-1) is een element van ker(t).
    Bereken de matrix van t.


  14. Neem in het vlak een vaste oorsprong O en als basis van alle vectoren van het vlak nemen we twee orthogonale eenheidsvectoren e1 en e2.
    De lineaire transformatie t heeft matrix [[3,-1],[2,-1]].
    t transformeert alle punten van de rechte r met vergelijking y = 3x in een andere rechte r'.
    Bereken de vergelijking van r'.

Niveau 2 problemen


  1. V is een vectorruimte met basis e1 en e2. t is een lineaire transformatie van V.
     
      t( u(1,3) ) = u'(5,8)
      t( v(2,-1) ) = v'(3,-5)
    
    Bereken de matrix van de lineaire transformatie t ten opzichte van de gegeven basis.


  2. In V = R2 nemen we een natuurlijke basis B. De verzameling S = { (3 r, 7 r) | r in R en r niet 0} is een verzameling eigenvectoren van een lineaire transformatie t.

    De lineaire transformatie t' heeft matrix [[2,1],[4,-1]] ten opzichte van basis B. Bereken de verzameling S' van alle vectoren v(x,y) zodat t'(v) tot S behoort.



  3. De rotatie over een hoek van u radialen (u niet 0), om een vast punt O is een lineaire transformatie van de vectorruimte van alle vectoren in het vlak.
    Bereken de matrix van de rotatie ten opzichte van een orthonormale basis (e1,e2) in het vlak.

    Schrijf die matrix voor u = pi, en berekenen de eigenwaarden en de eigenvectoren.



  4. A = matrix van een lineaire transformatie t.
    Toon aan dat t een eigenwaarde 0 heeft als en slechts als A singulier is.


  5. De lineaire transformatie t heeft, ten opzichte van een orthonormale basis (e,u) , de matrix
     
            [m    m]
            [1    2]
    
    a) Bereken m zo dat (1,1) de coordinaten zijn van een eigenvector v.
    b) Bereken de coordinaten van eigenvector w, lineair onafhankelijk van v en zo dat w een eenheidsvector is.
    c) Wat is de matrix van t als we v en w nemen als nieuwe basis van de vectorruimte.
    d) Bereken de coordinaten van e en u ten opzichte van die nieuwe basis.


  6. De vector v = (1,-1) is een eigenvector van de lineaire transformatie met matrix A =
     
            [4    3]
            [7    8]
    a) Wat is de corresponderende  eigenwaarde?
    b) Berekenen
                     1998
                    A     v
    


  7. Berekenen alle eigenwaarden van de lineaire transformatie t met matrix
     
            [1    u   v]
            [0    1   u]
            [0    0   1]
    
    Hier zijn u en v constant, niet nul en reeel. Geef voor elke eigenwaarde de dimensie van de geassocieerde vectorruimte.


  8. Neem in het vlak een vaste oorsprong O en als basis van alle vectoren van het vlak nemen we twee orthogonale eenheidsvectoren e1 en e2. De lineaire transformatie p is een niet orthogonale projectie op een rechte door O. Het beeld van u(4,5) door p is u'(2,-1).

    Bereken de matrix van p.


Niveau 3 problemen


  1. A = de matrix van een lineaire transformatie t en C is een reguliere matrix.

    Toon aan dat A en B = C-1 .A.C de zelfde eigenwaarden hebben.



  2. Stel dat het product van alle eigenwaarden van een matrix A niet nul is.
    Toon aan dat die matrix A regulier is.


  3. Neem in het vlak een vaste oorsprong O en als basis van alle vectoren van het vlak nemen we twee orthogonale eenheidsvectoren e1 en e2.
    De lineaire transformatie t heeft matrix [[2,-2],[1,1]].
    t transformeert alle punten van de cirkel met vergelijking x2+y2 = 2 in punten van een andere kromme. Bereken de vergelijking van die andere kromme.


  4. V is de reele vectorruimte van alle veeltermen in x met reele coefficienten en met graad lager dan 3.
    In V nemen we de basis B = (x2 , x , 1).
    We nemen de lineaire transformatie t zo dat
     
      t(x2) = x + m
      t(x)   = (m - 1)x
      t(1)   = x2 + m
    
    Gevraagd :
    1. De matrix van t ten opzichte van de gegeven basis.
    2. Ker(t) voor alle waarden van de parameter m.
    3. Het bereik van t voor alle waarden van m.




MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.