Oefeningen over limieten en afgeleiden van functies




Lees eerst dit:

Deze oefeningen steunen op de theorie welke uiteengezet werd op de pagina
Limieten van functies (deel I)
en vooral op de pagina
Afgeleiden ; limieten (II) ; maximum, minimum; buigpunten...

De gegeven oplossing is niet 'DE' oplossing.
Er werd geen poging ondernomen om de meest elegante oplossing te geven.
Het wordt sterk aangeraden, tenminste eerst te zoeken naar een oplossing van het probleem, voordat je de gegeven oplossing leest.

Oefeningen over afgeleiden van functies en limieten

Niveau 1 problemen

 
y = 5x  ;  y' = 5

y = x3  ;  y' = 3x2

y = (2x2+ x + 5)  ;  y'= 4x + 1

     x - 1            (x+1).1 - (x-1).1             2
y = ------- ;   y' = -------------------- = ------------------
     x + 1              (x+1)(x+1)              (x+1)(x+1)

y = (x+5)6  ;  y' = 6.(x+5)5


y = (2x + 6)3 ; y' = 3.(2x + 6)2.2

y =  (2x + 6)(5x - 7) ; y'= 2.(5x - 7) + (2x + 6).5

y =  (2x + 6)2.(5x - 7)3; y'= 2.(2x + 6).2.(5x - 7)3+ (2x + 6)2.3.(5x - 7)2.5

y = x/5  ; y' = 1/5

                    1
y = 5/x  ; y' = -5.---
                   x.x

     7
y = ---  <=> y = 7.x-4  ;   y' = -28 x-5
    x4



Niveau 2 problemen


  1.  
    Bereken de afgeleide van
                 ax + b
            y = ---------
                 cx + d
    


  2.  
    Bereken de afgeleide van
               ad - bc
       y =  ----------------
            (cx + d)(cx + d)
    


  3.  
    Bereken de eerste en de tweede  afgeleide van
             x2 + x + 1
       y =  -------------
               x + 1
    


  4.  
    Bereken de eerste en de tweede afgeleide van
            y = sqrt(x3-3x +2)
    


  5.  
    Bereken de eerste en de tweede afgeleide van
            y = sin(2x) - cos(2x)
    


  6.  
    Een oppervlakte A hangt van x af :
    
                2r3.x3
            A = --------------  met  r = constant.
                (x2 + r2)2
    
    Bereken A'.
    


  7.  
    Bereken
    
                 1 - sqrt(cos(x))
            lim ------------------
             0      x2
    


  8.  
    Bereken
                 x(2x + 3)x - 1
            lim -------------------
            -1   x3 - 3x - 2
    


  9. De oppervlakte van een regelmatige (convexe) n-hoek is bepaald door n en de straal R van de omgeschreven cirkel. Stel een formule op voor die oppervlakte in functie van n en R en bewijs daarna dat die oppervlakte nadert tot de oppervlakte van de omgeschreven cirkel als n onbeperkt toeneemt.


  10.  
                  sin(3x) + tan(2x)
    Bereken  lim ------------------
              0     x - 2 sin(x)
    


  11. Bereken
     
                      x3 ex + 2x2 - 3
             lim     --------------------
           + infty    x2  - e2x + 5
    


  12. De getallen a en x zijn positief. Bereken :
     
             x sqrt(x) - a sqrt(a)
       lim -------------------------
        a       sqrt(x) - sqrt(a)
    

Niveau 3 problemen


  1.  
    Gegeven:
                x2 + 2px + q
            y = --------------
                    x2 + 1
    
    Toon aan dat er twee waarden van x zijn zodat y' = 0. Noem de waarden x' en x".
    Bewijs daarna dat  x'.x" = -1.
    


  2.  
    de afgeleide van f(x) is f'(x).
    
    de afgeleide van f'(x) is de tweede afgeleide f"(x)
    
    de afgeleide van f"(x) is de derde afgeleide f"'(x)
    
     ...
    
    Zij f(x) = sqrt(x)
    
    Toon aan dat de n-de afgeleide van f(x) gelijk is aan
    
                                                 n-1  (2n-2)!     (1-2n)/2
                                             (-1)   .--------.(4x)
                                                      (n-1)!
    


  3.  
    Bereken
    
            lim  (x. sin(3/x))
       x -> infty
    


  4. Gegeven is de functie f(x) = ( (x-2)2 )1/3 - 3 in het interval [1,3].
    Onderzoek of we de stelling van Rolle kunnen toepassen in dit interval.


  5. De functie ex.sin(x) voldoet aan de drie voorwaarden van de stelling van Rolle in het interval [0,pi]. Bereken het punt P(c, f(c)) zo dat f'(c) = 0.


Externe links naar opgeloste oefeningen over afgeleiden

Ketting regel

Oefeningen op de ketting regel

Product regel

Oefeningen op product regel

Quotient regel

Oefeningen op quotient regel

Goniometrische functies

Oefeningen op afgeleiden van goniometrische functies

Cyclometrische functies

Oefeningen op afgeleiden van cyclometrische functies

Impliciet afleiden

Oefeningen op het impliciet afleiden

Functies van de vorm uv

Oefeningen op het afleiden van functies van de vorm uv.





MATH-abundance - tutorial

Site adres is http://home.scarlet.be/math/nl/

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar Johan.Claeys@ping.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.