Rien ne nous échappe .
Harmonie et Melodie
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L'accordement d'instruments musicaux classiques au moyen de mesures objectives de fréquence
 

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Appendice 2:

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Techniques de mesure de fréquence.....(contenu)

.Ce texte est une traduction.
Vos commentaires sont les bienvenus..

1    Utilisation d’appareillage existant.....(contenu)

Appareils électroniques normaux de laboratoire pour la mesure de fréquence
En général l’utilisation de ces appareils ne va pas sans problème.
A cause de la complexité des ondes acoustiques et de la courte période pendant laquelle il faut mesurer, il n’est en général pas possible de pouvoir effectuer des mesures  précises à l’aide d'appareils électroniques de laboratoire pour la mesure de fréquence.

Appareils spéciaux et programmes PC pour l’accordement, disponibles dans le commerce.
Comme mentionné déjà dans let texte principal au paragraphe 2.3, l’utilisation de ces appareils est limité à la mesure d’ondes sonores n’ayant pas une trop grande complexité.

2    Possibilités de développement supplémentaires.....(contenu)

La mesure de la fréquence des ondes acoustiques est surtout rendu difficile:
  • suite au fait que les sons ont souvent la caractéristique que le signal capté croise plusieurs fois la valeur zéro au cours d’une seule période du signal: voyez par exemple le signal rouge de la figure 2 de ce texte.
  • parce que pour les sons ayant un caratère harmonique différent de la normale (voir le paragraphe 2.3 du texte principal) il n'est pas suffisant de connaître la fréquence de l'onde fondamentale, mais d'une façon ou d'une autre il faut prendre en compte également les fréquences des ondes harmoniques (différentes de la distribution normale).
Le problème est souvent contourné en utilisant un oscillateur interne, qui s’accroche au signal sonore capté au moyen d’un “Phase-Lock -Loop” (PLL). Plutôt que de mesurer la fréquence du signal capté la mesure de la fréquence s’effectuera sur le signal peu complexe de l’oscillateur interne, qui grâce au PLL a la même fréquence que le signal capté. Le PLL est le plus souvent constitué d'un demodulateur commutant controlé par une onde carrée, et est normalement de ce fait sensible aux harmoniques impaires du signal. Cette technique peut également présenter des problèmes: le PLL peut manquer de stabilité au cas d’ondes sonores à forme très complexe.
Des expérimentations personnelles ont été faites avec un détecteur PLL comprenant un générateur en dent de scie combiné a un multiplicateur analogique, au lieu du circuit "classique" a onde carrée et démodulateur commutant. Bien qu’un signal en dents de scie comprend TOUTES les harmoniques, paires ET impaires, il n’a pas été possible de noter une amélioration substantielle de la stabilité du PLL.

Cette expérimentation a toutefois été une aide précieuse pour comprendre que l’application de techniques d’autocorrélation pourrait mener à une amélioration appréciable de la mesure de fréquence de signaux acoustiques complexes: les techniques d’autocorrélation prennent en comte TOUTES les harmoniques et permettent  de rechercher le maximum de correspondance entre un signal quelconque et ce même signal délayé dans le temps: ce point de correspondance optimal se manifeste une première fois après une période complète du signal complexe.
La fonction d’autocorrélation se calcule à l'aide de l’équation suivante:
 

  Formule 1
Il n’est pas possible d’appliquer le calcul d’une autocorrélation et la recherche de ses maxima au moyen de techniques classiques et analogiques en électronique.
L’implémentation des techniques d’autocorrélation est cependant bien possible en prenant le signal en mémoire afin de passer à une exécution successive de calculs menant au résultat désiré: il va de soi que les techniques digitales s’imposent à ce point.
De nos jours les techniques d’autocorrélation peuvent être appliquées grâce a l’utilisation de PC équipé de carte audio et de logiciel adéquat.
Les techniques d’autocorrélation proposées ici ont été simulées au moyen de feuille de calcul, en y exécutant les algorithmes suivants:
Simulation au moyen de feuille de calcul
  • Génération d’un signal complexe:

    • La feuille de calcul génère un signal complexe par le calcul de la somme de plusieurs sinus ayant des amplitudes, fréquences et phases différentes, pour un grand nombre de points choisis dans le temps, sur plus de deux périodes de la fréquence fondamentale
      • Le modèle choisi pour ce signal, est le signal que l'on peut obtenir en exitant une corde au 1/7-ème de sa longueur. Pour une bonne harmonie les 7-èmes harmoniques ne sont en général pas souhaitées, ce qui s'obtient par ce choix adéquat du point d'exitation.
      • Le contenu harmonique du signal est limité a l'aide d'un filtre gaussique incorporé
      • Les amplitudes relatives des harmoniques ainsi obtenues sont données dans la figure 1
          •  
            Figure 1
      • Le signal modèle que l'on obtient en calculant la somme formule ci-dessus, au cas ou il n'y a pas de glissement des phases entre les harmoniques est représente par le trait bleu de la figure 2. Le trait rouge est toujours une représentation du signal que l'on pourrait obtenir apres une dégénération du signal, causé par des glissements de phase.
  • Calcul de l’autocorrélation:

    • L’intégral dans la formule est simulé par le calcul de sommes discrètes de produits, selon la formule ci-dessous (mais en utilisant moins de points que notés dans la formule).
       Formule 2 Ce calcul est fait:
  • Par le calcul des sommes obtenues en combinant le signal d’origine avec soi-même (n = 0)
  • En répétant le calcul ci-dessus en combinant le signal d’origine avec le signal obtenu en augmentant à petit pas le délais dans le temps du signal d’origine (n = 1 tot 3999).
  • La série de sommes de produits ainsi obtenu, représente un échantillonnage de l’autocorrélation. Ces autocorrélations sont représentées pas les signaux verts et jaune dans la figure 2.
    •
  • Détermination de la fréquence du son :

    • Sur la série de points obtenus on mesure en premier lieu l’amplitude du premier point, qui conforme au propriétés de l’autocorrélation est toujours un maximum de l’autocorrélation. Ensuite l’on recherche le point suivant ayant une amplitude égale ou très proche de l’amplitude du premier point. La distance mesurée entre les deux dits points est une très bonne mesure de la fréquence que l’on désire connaître. Cet algorithme n'a pas été développe dans le tabulateur, mais une evaluation visuelle de la distance entre les maxima des autocorrelations est facilement possible dans la figure 2.
Lors de variations quelconques des phases des différentes harmoniques on ne verra de changement significatif que dans le signal d’origine (complexe), qui est présenté dans la figure par le trait rouge. L’autocorrélation par contre ne présente presque aucune variation, et elle a comme l’on peut voir un maximum assez aigu et bien défini pour que l’on puisse en toutes circonstances l’utiliser pour la détermination de la fréquence mesurée (voyez les traits vert et jaune). Le fait que l’autocorrélation du signal quelconque puisse différer quelque peu de l’autocorrélation du signal ayant toutes les phases égales et zéro (voyez le trait bleu) est une conséquence de fautes de ce modèle occasionnées par le nombre réduit d’échantillons. Cette simulation n’utilise en effet que deux périodes, à 120 échantillons par période. En réalité il faudrait aux moins 2000 échantillons ou plus afin d’obtenir une précision de mesure dépassant le demi comma.

    Figure 2
 
Couleurs
 Signaux 
  Signal acoustique ayant toutes les harmoniques en phase au point d’origine
  Signal acoustique ayant toutes les harmoniques avec phase quelconque
  Autocorrélation du signal acoustique bleu
  Autocorrélation du signal acoustique rouge (égal en principe au signal vert)

Il est possible d’expérimenter personnellement avec ce modèle en installant le fichier ci dessous:

Fichier Excel avec simulation de l'autocorrélation d'une onde complexe (env. 400KB, Office 95 requis)
Note :
Ce tableau contient un macro. Ce macro est sans danger: il attribue au bouton-poussoir dessiné la fonction qui relance à nouveau un calcul complet de la feuille de calcul, comme on peut vérifier en ouvrant  [Tools] [macro] [macros...] [edit].
Il est possible d'utiliser le tableau sans le macro, mais dans ce cas le bouton-poussoir dessiné n'est pas actif.
A chaque fois que l'on actionne la touche F9 du clavier, des nouvelles ondes seront calculées, avec maintient toutefois d'un contenu harmonique égal. En même temps les autocorrélations correspondantes sont également recalculées. L'effet d'un nouveau calcul est toujours limité a un changement notable du trait rouge et un changement presque inapercevable du trait jaune.
Le fait de toujours retrouver les mêmes autocorrelations, avec maxima pronocés, ne signifie rien de plus qu'une confirmation des théories existantes concernant les caractéristiques des autocorrélations. Ce fichier ne nous apporte donc rien d'autre qu'une confirmation pratique et positive de l'applicabilité des autocorrélations pour le but defini dans ce texte, d'apres lequel is s'avère nécessaire de pouvoir mesurer également les fréquences d'ondes très complexes.

Je n'ai pas encore pu trouver de logiciel disponible dans le commerce qui puisse exécuter la fonction de mesure de fréquence de sons complèxes en dehors du circuit professionel.
Des logiciels share-ware ou free-ware n'ont pas été retrouvé également a ce stade.
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Quelques articles discutent l'application de techniques d'autocorrélation pour l'identification automatique de pièces de musique.

3    Implication pratique des autocorrélations.....(contenu)

L'implémentation pratique d’autocorrélations comprend le développement de logiciel exécutant l'algorithme décrit ci dessous:

          Formule 3.....conclusions


CONTENU

L'accordement d'instruments musicaux classiques au moyen de mesures objectives de fréquence
1    Introduction.........
2    Fréquences sonores des notes
    2.1    Généralités
    2.2    La mesure des fréquences sonores des notes
    2.3    Appareillage de mesure
3    Conclusions

Appendice 1    Caractéristiques des tempéraments musicaux...
    1    Caractéristiques musicales élémentaires
        1.1    Le tempérament Pythagorique
        1.2    Le tempérament naturel (pur)
        1.3    Le tempérament égal
        1.4    Le tempérament mésotonique
        1.5    Les tempéraments de sélection
        1.6    Le tempérament "Bien Tempéré"
        1.7    Etude approfondie du sujet
    2    Analyse Technique
        2.1    Données de base
        2.2    Aperçu des rapports des intervalles
        2.3    Caractéristiques des intervalles: le cycle des quintes
        2.4    Caractéristiques des intervalles: Comparaison graphique

Appendice 2    Techniques de mesure de fréquence....
    1    Utilisation d’appareillage existant
    2    Possibilités de développement supplémentaires
    3    Implication pratique des autocorrélations

Revision 2002-07-26