Rien ne nous échappe .
Harmonie et Melodie
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L'accordement d'instruments musicaux classiques au moyen de mesures objectives de fréquence
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Home J. Broekaert.
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Appendice 1:

 

Caractéristiques des tempéraments musicaux.....(contenu)

Ce texte est une traduction.
Vos commentaires sont les bienvenus.

1    Caractéristiques musicales élémentaires.....(contenu)

Nous nous limitons à une description très brève des caractéristiques élémentaires des tempéraments musicaux.
Le site internet suivant offre une très extensive liste bibliographique

1.1 Le tempérament Pythagorique.....(voyez également le tableau 1).....(contenu)

Le tempérament Pythagorique est obtenu par la formation consécutive de quartes ou de quintes pures (au rapport de fréquence correspondant à 3/2, respectivement 4/3). Le tempérament Pythagorique n'est pas utilisé dans la pratique musicale, parce que ce tempérament mène à des notes enharmoniques différentes (par exemple cis et des) ce qui pose des problèmes pour la conception et construction d'instruments de musique, ainsi que pour la transposition de pièces musicales.
Le tempérament Pythagorique est à la base des théories musicales, pour ce qui concerne:
  • L'origine des notes: les notes prennent existence par la formation consécutive de quintes, et ceci détermine également la séquence de leur apparition à la portée des notes modifiées en dièses (fa, do, sol, re, la, mi, si) et en bemols (si, mi, la, re, sol, do, fa)
  • La distinction entre notes enharmoniques: d'après ce tempérament le dis (re dièse) est quelque peu plus élevé en fréquence que le es (mi bemol), etc.…
  • La détermination du rapport des intervalles musicaux: un ton comprend 9 commas, un demi-ton chromatique comprend 5 commas, un demi ton diatonique comprend 4 commas
  • etc…
La position relative des différentes notes ainsi que la quasi coïncidence des notes enharmoniques dans le tempérament Pythagorique a permis que la musique à pu évoluer de musique pentatonique (5 notes par octave) à une musique chromatique et dodécaphonique (12 notes par octave) tout en passant par la musique diatonique (7 notes par octave).
Il est assez problable que la musique classique ne dépassera jamais un système à douze notes par octave pour les instruments à clavier, si l'on désire qu'elle puisse être executée par des musiciens (voyez galement la note ci-dessous).
.
Note:
La definition donnée ci-dessus concernant les commas, n'est pas à 100 % exacte du point de vue purement mathématique, mais est une tres bonne approximation.
Le comma Pythagorique égale l'intervalle entre deux notes enharmoniques, comme par example le dis (re dièze) et es (mi bemol). 
L'intervalle entre deux notes enharmoniques dans le tempérament Pythagorique a toujours la valeur suivante: 
.
              1 comma Pythagorique..=..3^12 / 2^19..=..1,013643265.... (^: "^" signifie "élevé au degré …").
.
A partir de cette donnée il est facile de vérifier le nombre de commas compris ("environ") dans un ton, un demi-ton chromatique et un demi-ton diatonique.
Les notes enharmoniques, et donc également le comma Pythagorique, proviennent du fait que dans le tempérament Pythagorique il ne sera jamais possible lors de la création des notes consécutives, de revenir à une fréquence identique à la fréquence de la note originale. Ceci est une conséquence de la propriété mathématique:
                          3^m / 2^n.....ne peut jamais.....=...1 ..........(si....m....et....n....égalent un nombre entier)
 .
Propriétées remarquables (mathématiques) supplémentaires:
  • Le comma Pythagorique se crée à la 13-ème note (donc lors de la 12-ème élévation d'un degré du nombre trois). On peut vérifier que 12 est le premier degré du nombre 3, pour lequel l'expression
      • .
      3^m / 2^n
      .
    se rapproche de très près de la valeur1, pour une combination de nombres entiers de m et n (3^12 / 2^19..=..1,013643265...)
  • On peut vérifier qu'une octave contient 53 commas (5x9 + 2x4 = 53).

    • On peut vérifier également que pour m = 53 l'expression....3^m / 2^n....se rapproche à nouveau de très près de la valeur 1 (3^53/2^84..=..1,002090314...). Le rapprochement à la valeur 1 est d'ailleurs beaucoup mieux encore que pour le degré 12.
    Des propositions possibles pour la construction d'instruments de musique à 53 notes par octave existent déja depuis longue date (proposé entre autres par Mercator).
  • Un bon rapprochement du nombre 1 se produit également pour m = 41: le rapprochement de 1 est meilleur que pour le degré 12, mais quand même remarquablement moins bon que pour m = 53 (3^41 / 2^65..=..0,988602548...).
  • Les valeurs suivantes de m pour lesquelles l'expression....3^m / 2^n.... produit à nouveau un meilleur rapprochement de la valeur 1 sont:
    • m = 306.....3^306 / 2^485..=..0,998978283...
    • les prochaines valeurs de m: des valeurs prochaines existent, mais n'ont pas pu êtres calculées avec les moyens disponibles...(pour m = 647, ou n = 1024 le système ne produisait plus de valeurs utilisables).
    La distance à des valeurs prochaines se croit donc très rapidement.
    De toute façon on n'obtient que des valeurs qui ne sont plus aptes à la construction d'instruments de musique utilisables par des musiciens.
  • La valeur ci-dessous de m produit également un bon rapprochement de la valeur 1, mais quand même moins bien que pour la valeur 12:
    • m =.024....3^24 / 2^38..=..1,027472668
    Des expériences avec de la musique à 24 notes par octave (à intervalles de quart de ton) ont déja été faites, mais apparemment sans résultat convainquant.
    .
.

 1.2    Le tempérament naturel (pur).....(voyez également le tableau 1).....(contenu)

Le tempérament naturel est obtenu par la formation de tierces pures (de proportion 5/4 ou 6/5) à certains endroits de l'octave óu ceci est désirable ou possible, et ceci ayant pour effet de réduire quelque peu la qualité de certains quarts ou quintes qui perdent un peu de leur pureté.
Ce tempérament n'est pas utilisé dans la pratique musicale, pour les mêmes raisons que pour le tempérament Pythagorique.
Ce tempérament est à la base du tempérament mésotonique et maints tempéraments sélectionnés, grâce à la bonne harmonie des accords obtenus sur base de la pureté des tierces.
Note:
Il est à remarquer que dans ce tempérament les notes enharmoniques sont telles que les dièses ont une tonalité inférieure a la tonalité des bemols enharmoniques, comme on peut vérifier au tableau 1 (ceci est contraire au caractéristiques du tempérament Pythagorique, ou les dièses ont une tonalité supérieure a la tonalité des bemols enharmoniques).

1.3    Le tempérament égal.....(contenu)

Le tempérament égal s'obtient en divisant un octave en douze parties strictement égales, d'après une série géométrique:
  • La raison de cette série est donc la douzième racine de 2, valant: 1,059463… .
  • Les appareils simples d'accordement sont calibrés suivant ce tempérament, ce qui mène souvent à l'application de ce tempérament lors d'accordements sur base de ces appareils
Le nom de ce tempérament à pour origine son qualificatif spécifique que l'on retrouve toujours le même rapport entre les fréquences des notes d'un accord et les fréquences des battements entre ces notes.

Ce tempérament à surtout le mérite d'être un calibre absolu lors de calculs, mesures et comparaisons d'intervalles entre notes. Afin d'augmenter la résolution de mesure, l'octave est en plus divisée en 100 cents par demi ton, ce qui revient à un total de 1200 cents par octave.
Ce n'est qu'un hasard mathématique qui fait que les fréquences des notes a tempérament égal s'associent d'assez près aux fréquences "classiques" correspondantes obtenues avec les autres tempéraments.

L'application du tempérament égale a pour conséquences majeures:

  • La perte intégrale de tierces pures, aussi bien les tierces majeures que les tierces mineures, mais les quarts et les quintes conservent une très grande pureté
  • Le caractère propre aux différentes gammes se perd totalement, parce que les intervalles du même nom ont également dans tous les cas un même rapport absolu entre les fréquences sonores et la fréquence des battements (conséquence directe de la tempérament égal)
  • L'harmonie est moins brillante ou colorée, surtout à cause du manque de tierces pures.

1.4    Le tempérament mésotonique.....(contenu)

Le tempérament naturel est à l'origine du tempérament mésotonique.
Le tempérament mésotonique contient autant que possible de tierces pures a des endroits judicieusement choisis (voyez le tableau 3.2), et la tierce majeure est divisée en deux tons entiers égaux, fait qui est à l'origine du nom de ce tempérament.
Le tempérament mésotonique permet une construction facile d'instruments musicaux (seulement 12 touches par octave). En plus le tempérament mésotonique permet une transposition limitée des œuvres musicales. La transposition est surtout limitée par une quinte du loup (sur gis ou as), une quinte déviant fortement du rapport normal et pur. Cette quinte-loup permet pourtant d'obtenir certains effets musicaux spécifiques, en général plutôt tragiques ou tristes.

Le tempérament mésotonique s'applique aux orgues et aux clavecins et est plutôt liée à une certaine époque ou culture: pour certaines œuvres il se faut d'appliquer ce tempérament, afin de pouvoir goûter de la musique tel qu'elle à été conçue et jouée en son temps.

1.5    Les tempéraments de sélection.....(contenu)

Les tempéraments de sélection résultent d'une recherche généralisée afin d'échapper aux restrictions qu'impose le tempérament mésotonique. Les tempéraments de sélection ont de nombreuses varientes, et sont souvent conçus du temps de Bach, parfois même plus tôt, et la comparaison des différentes versions aurait du faire l'objet de maintes discussions savantes en salon (cfr. prof H. Kelletat). Nous nous limitons a en citer quelques unes, en tant que références historiques (voyez "Zur musikalischen Temperatur", prof. H. Kelletat): Schlick (1511), Silbermann, Mattheson, Werckmeister I, II, III (1691) en IV, Kirnberger I, II en III (1779), Neidhardt I, II en III.
Récemment encore l'on a: Kelletat (1966), Kellner (1977) en Billeter (1979) (voyez "Zur musikalischen Temperatur", prof. H. Kelletat).

Lors de l'accordement par l'ouïe d'instruments de musique classique l'on appliquera toujours le tempérament mésotonique ou un des tempéraments énumérés dans ce paragraphe, ou quelqu'autre tempérament similaire. L'accordement par l'ouïe selon le tempérament égal n'est pratiquement pas possible (cfr. prof H. Kelletat).

1.6    La tempérament "Bien Tempéré".....(contenu)

Un nombre de tempéraments sélectionnés possèdent la caractéristique que l'on peut les appliquer pour toutes les tonalités musicales possibles en maintenant les caractéristiques propres aux diverses tonalitées et une bonne harmonie dans tous les cas. Ces tempéraments reçoivent le qualificatif "Bien Tempéré".

Nous croyons avoir compris que l'ouvrage du prof. H. Kelletat a pour but de démontrer que la tempérament de Kirnberger était très reconnu du temps de Bach et qu'il y a relation entre ce tempérament et l'œuvre-maître de Bach "Das Wohltemperierte Klavier" ("Le clavier bien tempéré").
Toujours selon prof. H. Kelletat, et à l'encontre des opinions majeures durant plus de deux siècles passés, il n'est pas permis de confondre le "Wohltemperiert Klavier" (bien tempéré) au "Gleichschwebend Klavier" (a tempérament égal: voir 1.3)

Des façons bien tempérés d'accordement sont entre autres: Kirnberger I, II en III (1779), Kelletat (1966), Kellner (1977), Billeter (1979) (voir "Zur musikalischen Temperatur", prof. H. Kelletat).

Des informations plus approfondies concernant le tempérament de Kellner sont disponibles aux publications internet suivantes:

1.7    Etude approfondie du sujet.....(contenu)

La discussion a fond des différentes tempéraments musicaux fait sujet de hautes études musicales en général.
Une vaste littérature approfondie existe et le sujet est au programme des cours aux conservatoires musicaux. Nous n'approfondissons pas le sujet pour les raisons citées ci dessus.

2    Analyse Technique.....(contenu)

2.1    Données de base.....(contenu)

Les données de base concernant le rapport de fréquences des notes, tel que publiées en général, sont reprises ci dessous afin de faciliter la lecture et la compréhension du texte.

Tableau 1: Rapport de fréquences des notes (^: "^" signifie "élevé au degré …")
Pythagorique
Naturelle
  Mésotonique Kirnberger II Tempérament
2/1
2/1
 2/1 2/1
C
3^12/2^18
125/ 64
 . .
his
243/128
15/8
 15/8 - 1/4c 15/8
h
16/9
16/9
 16/9 + 1/2c 16/9
b
3^10/2^15
225/128
 . .
ais
27/16
5/3
 5/3 + 1/4c 161/96
a
128/81
8/5
 . .
as 
3^8/2^12
25/16
 25/16 128/81
gis
3/2
3/2
 3/2 - 1/4c 3/2
g
1024/ 729
64/45
 . .
ges
729/512
45/32
 25/18 + 1/2c 45/32
fis
4/3
4/3
 4/3 + 1/4c 4/3
f
3^11/2^17
125/96
 . .
eis
81/64
5/4
 5/4 5/4
e
32/27
6/5
 6/5 - 1/4c 32/27
es
3^9/2^14
75/64
 . .
dis
9/8
9/8
 9/8 - 1/2c 9/8
d
256/243
16/15
 . .
des
3^7/2^11
25/24
 25/24 + 1/2c 256/243
cis
1/1
1/1
 1/1 1/1
c

Un nombre d'intervalles classiques peuvent être calculés sur base des données du tableau ci dessus.

En même temps les déviations qui correspondent à un demi comma (=  ± 0,656 %) sont également calculées.

Tableau 2: Rapport de fréquences de certains intervalles
Intervalle + 1/2 komma
1,073664
1,118400
1,132380
1,207872
1,258200
1,192960
1,273928
1,509840
Intervalle calculé
 16/15 =
1,06667
 10/9 =
1,11111
 9/8 =
1,125
 6/5 =
1,2
 5/4 =
1,25
 32/27 =
1,185185
 81/64 =
1,265625
 3/2 =
1,5
Intervalle - 
1/2 komma
1,059669
1,103822
1,117620
1,192128
1,241800
1,177410
1,257323
1,490160
Intervalle
Demi ton
Petite seconde
Grande seconde
Petite tierce pure
Grande tierce pure
Petite tierce Pythagoriqye
Grande tierce Pythagorique
Quinte

2.2    Aperçu des rapports des intervalles.....(contenu)

Le calcul des rapports des intervalles dans le tableau ci-dessous, à été fait sur base des données trouvées dans l'ouvrage cité de prof. H. Kelletat. Un aperçu abrégé ou adapté de ces données se trouve aux paragraphes 2.1, 2.2 du texte principal et au paragraphe 2.1 de cet appendice.
Le tableau ci-dessous devrait permettre de mieux apercevoir les caractéristiques des intervalles les plus importants d'une façon globale et graphique, en fonction du tempérament choisi.

Tableau 3.1: Tempérament égal
Demi ton
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
Petite seconde
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
Grande seconde
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
Petite tierce
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
Grande tierce
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
Quinte
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
Tempérament égal
c
cis
d
es
e
f
fis
g
gis
a
b
h
C

Tableau 3.2:  Tempérament mésotonique
Demi ton
 1,045 1,070 1,070 1,045 1,070 1,045 1,070 1,045 1,070 1,070 1,045 1,070 1,045
Petite seconde
1,118
1,145
1,118
1,118
1,118
1,118
1,118
1,118
1,145
1,118
1,118
1,118
1,118
Grande seconde
1,118
1,145
1,118
1,118
1,118
1,118
1,118
1,118
1,145
1,118
1,118
1,118
1,118
Petite tierce
1,196
1,196
1,196
1,168
1,196
1,168
1,196
1,196
1,196
1,196
1,168
1,196
1,196
Grande tierce
1,25
1,28
1,25
1,25
1,25
1,25
1,28
1,25
1,28
1,25
1,25
1,28
1,25
Quinte
1,495
1,495
1,495
1,495
1,495
1,495
1,495
1,495
1,531
1,495
1,495
1,495
1,495
 Tempérament mésotonique
c
cis
d
es
e
f
fis
g
gis
a
b
h
C

Tableau 3.3: Kirnberger II
Demi ton
 1,054 1,068 1,054 1,055 1,067 1,055 1,067 ,1054 1,061 1,06 1,055 1,067 1,054
Petite seconde
1,125
1,125
1,111
1,125
 1,125
1,125
1,124
1,118
1.125
1,118
1,125
1,124
1,125
Grande seconde
1,125
1,125
1,111
1,125
 1,125
1,125
1,124
1,118
1.125
1,118
1,125
1,124
1,125
Petite tierce
1.185
1.187
1,185
1,187
1,2
1,185
1,193
1,185
1,187
1,193
1,185
1,2
1,185
Grande tierce
1,25
1,266
1,25
1,266
1,262
1,258
1,262
1,25
1,266
1,253
1,266
1,262
1,25
Quinte
1,5
1,5
1.491
1,5
1,5
1,5
1.498
1,5
1,5
1.491
1,5
1,5
1,5
Kirnberger II
c
cis
d
es
e
f
fis
g
gis
a
b
h
C

 
Code couleurs: intervalle pur
  intervalle pur ± 0,5 comma (0,656 %)
  tierce Pythagorique
  tierce Pythagorique ± 0,5 comma (0,656 %)
  hors tolérance de ± 0,5 comma

2.3    Caractéristiques d'intervalles: Le cycle des quintes.....(contenu)

Il est également possible d'illustrer les majeures caractéristiques des principaux intervalles sur le cycle des quintes, tel que représenté à la figure 1 ci-dessous.
Le code couleurs des traits de cette figure est le même que le code couleurs des tableaux ci-dessus.

Figure 1

La figure 1 est représentative pour les caractéristiques des intervalles dans le cas d'un tempérament selon Kirnberger II
Comme toujours, les quintes se retrouvent sur des arcs de 30 degrés sur le cycle des quintes, et les tierces sont représentées par des cordes de 90 degrés (tierce mineure) ou de 120 degrés (tierce majeure).
La figure 1 contient toutes les tierces pures, mais ne contient pas les tierces mineures impures, les secondes et demi tons, afin de maintenir un apeçu global facilement lisible.

Il est remarquable de voir que TOUTES les notes sont reliées ou moyen d'éléments verts (= purs), sauf le a ("la"). En d'autres termes: la position relative de TOUTES les notes (sauf le a ou "la") est défini d'une façon très précise au moyen d'intervalles simples (intervalles purs). La structure de cette figure est donc très rigide: il n'est pas possible de déformer la figure sans variation dans la caractéristique des intervalles.
Il est un fait très remarquable que c'est précisément le a ("la") qui tombe hors du groupe défini ci dessus, certainement si l'on prend en considération le fait que le a ("la") est pour ainsi dire toujours la note de référence dans la musique classique !
Il convient ici de prendre en considération des éléments historiques et traditionnels, afin de comprendre ou d'accepter que le "la" est de toute façon lá note de référence musicale. Des recherches à ce sujet représentent une étude en soi.
Sur base des éléments ci-dessus, des considérations purement scientifiques et techniques mèneraient à choisir une note de référence au positionnement le plus central que possible et ayant le plus que possible de connections pures avec d'autres notes, comme c'est le cas par exemple pour le g ("sol"), qui est lié a d'autres notes au moyen de consonantes pures, et qui est la note dominante de la gamme en C ("do") majeur.
Les usages et traditions en musique classique sont tellement forts que toute proposition visant à modifier le choix de la note de référence est condamnée d'avance à ne même pas être prise en considération. Il s'agit de mettre en comte également le fait que le a ("la") possède encore plus de consonantes, si l'on accepte de très légeres déviations : en la figure 1 le a ("la") est lié a d'autres notes par SIX traits jaunes.

Usage pratique possible de la figure 1:
Le demi-cercle noir recouvre toutes les notes diatoniques d'une octave, et se trouve dessiné dans la position correspondant aux tonalités C (majeur) en a (mineur).
Les fondamentales des tonalités en majeur et mineur sont indiquées sur le demi-cercle noir au moyen d'un point noir et d'un point blanc.
Une rotation adéquate du demi-cercle permet de percevoir en un clin d'œil les caractéristiques des accords des autres tonalités. Les caractéristiques typiques des diverses gammess proviennent des caractéristiques différentes des consonantes contenues dans la gamme, tel qu'explique très amplement dans l'ouvrage du prof. H. Kelletat.
L'on peut vérifier sur le cycle des quintes que les tonalités en C et en a possèdent de multiples accords aux caractéristiques pures, au cas d'un tempérament selon Kirnberger II.
 

2.4 Caractéristiques d'intervalles: Comparaison graphique....(contenu)

Des representations graphiques des caracteristiques d'intervalles des quintes et tierces majeures et mineures sont publiées dans l'ouvrage de Kelletat.
Combinaison de ces graphiques mène a des figures que l'on peut voir via les liaisons publiées ci-dessous, pour lesquelles l'échelle Pythagorique a été définie d'une façon alternative (*).
Caractéristiques remarquables des "tempéraments-Bach" (voir le paragraphe 1.6):

  • Les différents "tempéraments-Bach" sont tres similaires, et diffèrent comme groupe assez bien des autres tempéraments
  • Les deviations des quintes sont très restraintes (toujourd moins de 5 cents environ)
  • Les tierces (majeures et mineures) sont très pures pour les tonalitées principales, et se convertissent graduellement en tierces (majeures et mineures) a caractère Pythagorique (+ 21,5 cents de déviation pour les tierces majeures Pythagoriques, et - 21,5 cents pour les tierces mineures Pythagoriques)
Figure showing the
Deviation of Purity of
Fifhts
Figure showing the
Deviation of Purity of
Sharp Thirds
Figure showing the
Deviation of Purity of
Flat Thirds
Figure showing the
Deviation of Purity of
Fifhts for "Bach-temperaments"
Figure showing the
Deviation of Purity of
Sharp Thirds for "Bach-temp"
Figure showing the
Deviation of Purity of
Flat Thirds for "Bach-temp"
.
 (*) Définition alternative de l'échelle Pythagorique:

La definition normale de l'échelle Pythagorique est la suivante: 

  1. A partir de a monter en quintes, ce qui mène à:  d, g, c, f, bes, es, as, des, ges, ces, fes, beses, eses, …
  2. A partis de a descendre en quintes, ce qui mène à:  e, b, fis, cis, gis, dis, ais, eis, bis, fisis, cisis, gisis, …
Pour le dessin des graphiques ci-dessus l'échelle Pythagorique fut définie de façon alternative, afin que les quatre tierces les plus pures coincident avec les notes d, g, c et f.
.
Cette construction alternative s'obtient en montant en quintes a partir de a, tout en remplaçant en certains points le nom de la note par le nom de la note enharmonique. Ceci mène à la série:
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   a,  e,  b,  fis,  cis,  gis, (dis ->) es, (ais ->) bes
  (eis ->)  f,  (bis ->)  c,  (fisis ->)  g,  (cisis ->)  d
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CONTENU

L'accordement d'instruments musicaux classiques au moyen de mesures objectives de fréquence
1    Introduction..
2    Fréquences sonores des notes
    2.1    Généralités
    2.2    La mesure des fréquences sonores des notes
    2.3    Appareillage de mesure
3    Conclusion

Appendice 1    Caractéristiques des tempéraments musicaux....
    1    Caractéristiques musicales élémentaires
        1.1    Le tempérament Pythagorique
        1.2    Le tempérament naturel (pur)
        1.3    Le tempérament égal
        1.4    Le tempérament mésotonique
        1.5    Les tempéraments de sélection
        1.6    Le tempérament "Bien Tempéré"
        1.7    Etude approfondie du sujet
    2    Analyse Technique
        2.1    Données de base
        2.2    Aperçu des rapports des intervalles
        2.3    Caractéristiques des intervalles: le cycle des quintes
        2.4    Caractéristiques d'intervalles: Comparaison graphique

Appendice 2    Techniques de mesure de fréquence...
    1    Utilisation d’appareillage existant
    2    Possibilités de développement supplémentaires
    3    Implication pratique des autocorrélations

Revision 2002-07-26