Niets ontgaat.
Harmonie en Melodie

Het stemmen van klassieke muziekinstrumenten bij middel van objectieve toonhoogtemeting
 
English version.
Version Française.
Home J. Broekaert.

Appendum 1

Kenmerken van de muzikale temperaturen.....(inhoud)

1    Elementaire muzikale kenmerken.....(inhoud)

Hieronder volgt de beschrijving van een aantal elementaire muzikale kenmerken van de belangrijkste muzikale temperaturen.
Volgende webpagina geeft een zeer uitgebreide bibliografie:

1.1    De Pythagorische temperatuur.....(zie ook tabel 1).....(inhoud)

De Pythagorische temperatuur wordt bekomen door het opeenvolgend vormen van reine kwinten of kwarten (toonhoogteverhoudingen 3/2, respectievelijk 4/3), maar wordt in de praktijk niet gebruikt, omdat deze temperatuur leidt tot onderscheiden enharmonische noten (vb: cis en des), en dus problemen geeft bij instrumentenbouw en bij het transponeren van muziekstukken.
De Pythagorische temperatuur vormt de basis voor de klassieke muziektheorie, wat betreft:
  • de volgorde van ontstaan van de noten: de noten ontstaan door het opeenvolgend vormen van kwinten, en dit bepaalt eveneens de volgorde voor het noteren van kruisen (fa, do, sol, re, la, mi, si) en bemols (si, mi, la, re, sol, do, fa) als wijzigingstekens op een notenbalk
  • het verschil tussen enharmonische noten: volgens deze temperatuur is een dis (re kruis) iets hoger in toonhoogte dan een es (mi bemol), enz …
  • het bepalen van toonafstanden in komma’s: een hele toon omvat 9 komma’s, een chromatische halve toon 5 komma’s, en een diatonische halve toon 4 komma’s
  • enz…
De ligging van de verschillende noten en het quasi samenvallen van de enharmonische noten in de Pythagorische temperatuur, leidt ertoe dat muziek kon evolueren van pentatoniek (5 noten per octaaf) over diatoniek (7 noten per octaaf) naar chromatiek en dodekafonie (12 noten per octaaf).
De kans is betrekkelijk groot dat klassieke muziek nooit verder zal komen dan een systeem met 12 noten per octaaf voor klavierinstrumenten, indien uitvoerbaarheid door muzikanten gewenst is (zie ook noot hieronder).
.
Noot: 
De hierboven beschreven verdeling van toonafstanden in komma's is zuiver wiskundig bekeken niet 100 % exact, maar is wel een zeer goede benadering.
De Pythagorische komma is de toonafstand tussen twee enharmonische noten, zoals bijvoorbeeld dis (re kruis) en es (mi bemol).
Er kan nagerekend worden dat de toonafstand tussen enharmonische noten in de Pythagorische temperatuur steeds de volgende waarde heeft:
1 Pythagorische komma..=..3^12 / 2^19..=..1,013643265....(^ betekent "verheven tot de macht...").
Van hieruit kan gemakkelijk nagerekend worden hoeveel maal een komma ("ongeveer") past in een gehele toon of in een chromatische of diatonische halve toon.
Enharmonische noten, en dus ook de Pythagorische komma, ontstaan uit het feit dat het in de Pythagorische temperatuur nooit mogelijk is om terug te vallen op de oorspronkelijke toonhoogte van waaruit men vertrokken is, bij de opeenvolgende noten die men creëert. Dit volgt uit de wiskundige eigenschap:
3^m / 2^n.....kan nooit.....=...1 ..........(indien....m....en....n....een willekeurig....geheel....getal)
.
Verdere (wiskundige) merkwaardigheden:
  • De Pythagorische komma ontstaat bij het creëren van een 13-de noot (dit is dus bij de 12-de machtsverheffing van drie). Men kan nagaan dat 12 de eerste macht van 3 is waarvoor de uitdrukking
      • .
      3^m / 2^n
      .
    voor het eerst zeer dicht de waarde 1 benadert, voor combinaties van gehele waarden van m en n (3^12 / 2^19..=..1,013643265...)
  • Met kan natellen dat er in totaal 53 kommas zijn in één octaaf (5x9 + 2x4 = 53).

    • Men kan echter ook nagaan dat voor m = 53 de uitdrukking....3^m / 2^n....opnieuw een waarde heeft zeer dicht bij de waarde 1 (3^53 / 2^84..=..1,002090314...). De benadering van de waarde 1 is merkelijk beter dan bij de macht 12.
    Er zijn zeer vroeg reeds voorstellen geweest om instrumenten met 53 noten per octaaf te bouwen (o.a. door Mercator).
  • Ook voor m = 41 heeft men een goede benadering van de waarde 1 : beter dan voor m = 12, maar toch merkelijk minder goed dan voor m = 53 (3^41 / 2^65..=..0,988602548...)...... 
  • De volgende waarden van m, waarvoor de uitdrukking....3^m / 2^n....opnieuw beter de waarde 1 benadert zijn:
    • m = 306.....3^306 / 2^485..=..0,998978283...
    • grotere waarden van m: deze bestaan, maar konden met de beschikbare rekenmiddelen niet eenvoudig opgezocht worden... (bij m = 647, of n = 1024 werden geen bruikbare rekenwaarden meer afgeleverd)
    De afstand tot nog betere benaderingen groeit dus zeer snel.
    Alleszins worden waarden van m bekomen die geen zin meer hebben voor de bouw van muziekinstrumenten die nog door muzikanten bespeelbaar zouden zijn.
  • Voor de volgende waarde van m is de benadering ook goed, maar toch minder goed dan voor 12:
    • m =.024....3^24 / 2^38..=..1,027472668
    Er werd reeds geëxperimenteerd met muziek en instrumenten met 24 noten per octaaf (met toonafstanden van het vierde van een toon), blijkbaar zonder overtuigend resultaat totnogtoe.
.

1.2    De natuurlijke (reine) temperatuur.....(zie ook tabel 1).....(inhoud)

De natuurlijke temperatuur wordt bekomen door reine tertsen (verhouding 5/4 of 6/5) te vormen, op een aantal plaatsen in het octaaf waar dit mogelijk of muzikaal wenselijk is, ten koste van enkele kwinten of kwarten die daardoor wat aan "rein"-heid inboeten.
Deze temperatuur wordt in de praktijk niet gebruikt, om dezelfde redenen als voor de Pythagorische temperatuur.
Deze temperatuur vormt door haar welluidendheid dank zij de reine tertsen, de basis tot verdere ontwikkeling naar de middentoon-temperatuur en talloze selectiestemmingen.
Noot:
Het valt op dat in deze temperatuur de enharmonische noten zo liggen dat de kruisen een lagere toonhoogte hebben dan de enharmonische bemols, zoals kan nagerekend worden uit tabel 1 (dit is tegenovergesteld met de eigenschap bij de Pythagorische temperatuur, waar de kruisen een hogere intonatie hebben dan de enharmonische bemols).

1.3    De gelijkzwevende temperatuur.....(inhoud)

De gelijkzwevende temperatuur wordt bekomen door een octaaf in twaalf strikt gelijke delen in te delen, volgens een meetkundige reeks:
  • De rede van deze reeks is dus de twaalfde wortel uit 2, dit is: 1,059463… .
  • Eenvoudige stemapparaten zijn volgens deze schaal geijkt, wat ertoe leidt dat men deze temperatuur dikwijls toepast in het geval men elektronisch stemt.
De naam van deze temperatuur komt voort uit haar eigenschap dat men bij tweeklanken steeds dezelfde waarde bekomt voor de verhouding tussen de frequenties van de klanken en de frequentie van hun onderlinge zweving.
De gelijkzwevende temperatuur heeft vooral grote waarde als genormeerde meeteenheid bij het berekenen, meten en vergelijken van intervals tussen noten. Om de mogelijke meetresolutie te verhogen wordt het octaaf verder ingedeeld in 100 cents per halve toon, of dus 1200 cents in totaal per octaaf.
Het is een wiskundig toeval dat de gelijkzwevende toonhoogtes redelijk nauw aansluiten bij de toonhoogtes die men "klassiek" bekomt in de andere temperaturen.
Muzikale toepassing van de gelijkzwevende temperatuur heeft de volgende belangrijkste gevolgen:
  • Er zijn geen reine tertsen meer, noch groot noch klein, maar de kwarten en kwinten blijven wel zo goed als rein
  • Het eigen muzikaal karakter van de verschillende toonaarden gaat volledig verloren, doordat alle gelijknamige toonafstanden steeds een absoluut gelijke toonhoogteverhouding hebben (want gelijkzwevend)
  • De harmonie wordt iets minder briljant of gekleurd, voornamelijk door gebrek aan reine tertsen

1.4    Middentoon-temperatuur.....(inhoud)

De middentoon-temperatuur is ontstaan uit de natuurlijke temperatuur.
In de middentoon temperatuur worden er zoveel als mogelijk reine tertsen gevormd op goed uitgekozen plaatsen (zie tabel 3.2), en wordt de grote terts in twee gelijke hele tonen verdeeld, wat aan de oorsprong van de naam van deze temperatuur ligt.
De middentoontemperatuur leidt tot een eenvoudige instrumentenbouw (slechts 12 toetsen per octaaf). Bovendien laat de middentoon-temperatuur toe om muziekstukken beperkt te transponeren. Het transponeren wordt vooral beperkt door één "wolfskwint" (op gis of as), een kwint die zeer sterk afwijkt van de reine kwint. Deze wolfskwint laat anderzijds toe om bepaalde (meestal tragische, treurige) muzikale effecten te bereiken.
De middentoon-temperatuur wordt nog steeds veel toegepast bij het stemmen van orgels en klavecimbels en is enigszins cultuur- en tijdgebonden: voor sommige werken is het een vereiste om deze temperatuur toe te passen, indien men het werk muzikaal ten volle wenst te ervaren zoals het uitgevoerd werd in zijn tijd.

1.5    Selectiestemmingen.....(inhoud)

De selectiestemmingen zijn ontstaan uit een algemene zoektocht om uit de beperkingen van de middentoon-temperatuur te ontsnappen. Er zijn talloze selectiestemmingen gekend, meestal uit de periode van Bach, soms echter ook vroeger, en het vergelijken van deze temperaturen zou het onderwerp van talloze salondiscussies hebben uitgemaakt in die tijd (cfr. Prof. H. Kelletat).
We noemen er gewoon een aantal op bij naam, als historische referenties (zie "Zur musikalischen Temperatur", prof. H. Kelletat): Schlick (1511), Silbermann, Mattheson, Werckmeister I, II, III (1691) en IV, Kirnberger I, II en III (1779), Neidhardt I, II en III.
Recent ook nog: Kelletat (1966), Kellner (1977) en Billeter (1979) (zie "Zur musikalischen Temperatur", prof. H. Kelletat).
Bij het stemmen op het oor van klassieke muziekinstrumenten zal er steeds volgens de middentoon-temperatuur of volgens een van de temperaturen uit deze paragraaf, of aanverwante, worden gestemd. Gelijkzwevend stemmen op het oor is nauwelijks mogelijk (cfr. Prof. H. Kelletat).

1.6    "Welgetemperde" stemwijze.....(inhoud)

Een aantal selectiestemmingen hebben de eigenschap dat ze voor alle toonaarden kunnen toegepast worden met behoud van een goede harmonie en behoud van de herkenbaarheid van de karakteristieken van de verschillende toonaarden. Ze worden dan "Wohltemperiert" genoemd.
Prof. H. Kelletat probeert in zijn gerefereerde werken aan te tonen dat de temperaturen van Kirnberger toonaangevend waren in de tijd van Bach en in verband kunnen worden gebracht met "Das Wohltemperierte Klavier", een meesterwerk van Bach.
Nog steeds volgens Prof. H. Kelletat, en in tegenstelling tot een nu reeds meer dan twee eeuwen volhardend misverstand, mag het "Wohltemperiert Klavier" niet worden gelijkgesteld met een "Gleichschwebend Klavier" (gelijkzwevende temperatuur: zie 1.3).
Welgetemperde manieren van stemmen zijn onder andere: Kirnberger I, II en III (1779), Kelletat (1966), Kellner (1977), Billeter (1979) (zie "Zur musikalischen Temperatur", prof. H. Kelletat).

Een eerste meer grondige kennismaking met de temperatuur van Kellner is mogelijk via zijn internet-publicaties:

Noot (toegevoegd aan de nederlandstalige tekst): 
In deze tekst vertalen we het begrip "Wohltemperiert" naar "Welgetemperd": "goed en in zijn geheel getemperd". 
Welgetemperd is geen correct Nederlands, toch gebruik ik de naam "Welgetemperd" omwille van de zeer specifieke betekenis die er kan aan toegekend worden, met de hoop zelfs dat deze naam op termijn eventueel een zinvol en goed begrepen term zou kunnen worden. 
Minstens in het Duits, Engels en Frans is de hier gebruikte naam (welgetemperd) een reeds lang ingeburgerde en een door ieder welbegrepen term: "Wohl-temperiert", "well-tempered", "bien tempéré"; deze termen worden zeer duidelijk gebruikt in een onderscheiden, verschillende betekenis van de termen "Gleichschwebend", "equally tempered", "tempérament égal" (gelijkzwevend). 
Het komt natuurlijk de musicologen en de taalkundigen toe om een juiste Nederlandse term te definieren voor het woord "Wohltemperiert", maar veel naar het Nederlands vertalende woordenboeken maken de fout om "Wohl-temperiert" te vertalen naar "Gelijkzwevend", wat zeer uitgesproken in tegenspraak is met de breedvoerige en grondig gedocumenteerde uiteenzettingen hierover door prof. H. Kelletat.

1.7    Verdere studie.....(inhoud)

De bespreking ten gronde van de verschillende muzikale temperaturen, harmonie en toonaarden is onderdeel van de hogere muziekleer in het algemeen.
Hierover bestaat zeer uitgebreide literatuur en het is een belangrijk onderdeel van het leerprogramma aan de muziekconservatoria. Daarom wordt er hier niet verder op ingegaan.

2    Muziek-technische analyse.....(inhoud)

2.1    Basisgegevens.....(inhoud)

Basisgegevens over toonladders, zoals algemeen gepubliceerd, worden hieronder voor de volledigheid en de bevordering van de leesbaarheid nogmaals weergegeven.

Tabel 1: Frequentieverhoudingen in toonladders (^: "^" betekent "verheven tot de macht …")
Pythagorisch
Natuurlijk
 Middentoon Kirnberger II Temperatuur
2/1
2/1
 2/1 2/1
C
3^12/2^18
125/ 64
 . .
his
243/128
15/8
 15/8 - 1/4c 15/8
h
16/9
16/9
 16/9 + 1/2c 16/9
b
3^10/2^15
225/128
 . .
ais
27/16
5/3
 5/3 + 1/4c 161/96
a
128/81
8/5
 . .
as 
3^8/2^12
25/16
 25/16 128/81
gis
3/2
3/2
 3/2 - 1/4c 3/2
g
1024/ 729
64/45
 . .
ges
729/512
45/32
 25/18 + 1/2c 45/32
fis
4/3
4/3
 4/3 + 1/4c 4/3
f
3^11/2^17
125/96
 . .
eis
81/64
5/4
 5/4 5/4
e
32/27
6/5
 6/5 - 1/4c 32/27
es
3^9/2^14
75/64
 . .
dis
9/8
9/8
 9/8 - 1/2c 9/8
d
256/243
16/15
 . .
des
3^7/2^11
25/24
 25/24 + 1/2c 256/243
cis
1/1
1/1
 1/1 1/1
c

Uit tabel 1 kunnen in tabel 2 een aantal "klassieke" toonafstanden worden bepaald.
Tegelijk met de toonafstanden geven we ook de maximum en minimum waarde op van de afwijking die overeenstemt met een halve komma (=  ± 0,656 %).

Tabel 2: Frequentieverhoudingen van enkele toonafstanden
Afstand + 1/2 komma
1,073664
1,118400
1,132380
1,207872
1,258200
1,192960
1,273928
1,509840
Berekende afstand
 16/15 =
1,06667
 10/9 =
1,11111
 9/8 =
1,125
 6/5 =
1,2
 5/4 =
1,25
 32/27 =
1,185185
 81/64 =
1,265625
 3/2 =
1,5
Afstand -
1/2 komma
1,059669
1,103822
1,117620
1,192128
1,241800
1,177410
1,257323
1,490160
Toon-afstand
Halve toon
Kleine seconde
Grote seconde
Reine kleine terts
Reine grote terts
Kleine Pytha-gorische terts
Grote Pytha-gorische terts
Kwint

2.2    Karakteristieken van tweeklanken: overzicht.....(inhoud)

Voor het berekenen van de verhoudingen van de tweeklanken hieronder, werden de gegevens over toonhoogtes of toonverhoudingen gebruikt zoals opgegeven in de reeds gerefereerde werken van prof. H. Kelletat. Een ingekort of aangepast overzicht van deze gegevens werd reeds gegeven in de hoofdtekst onder de paragrafen 2.1, 2.2, en in dit appendum onder paragraaf 2.1.
Met de tabel hieronder wordt er gepoogd om de kenmerken van de belangrijkste tweeklanken in functie van de gekozen muzikale temperatuur op een overzichtelijke grafische wijze af te beelden.

Tabel 3.1: gelijkzwevende temperatuur
Halve toon
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
1,059
Kleine seconde
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
Grote seconde
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
1,123
Kleine terts
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
1,183
Grote terts
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
1,260
Kwint
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
1,498
Gelijkzwevend
c
cis
d
es
e
f
fis
g
gis
a
b
h
C

Tabel 3.2: Middentoon stemwijze
Halve toon
 1,045 1,070 1,070 1,045 1,070 1,045 1,070 1,045 1,070 1,070 1,045 1,070 1,045
Kleine seconde
1,118
1,145
1,118
1,118
1,118
1,118
1,118
1,118
1,145
1,118
1,118
1,118
1,118
Grote seconde
1,118
1,145
1,118
1,118
1,118
1,118
1,118
1,118
1,145
1,118
1,118
1,118
1,118
Kleine terts
1,196
1,196
1,196
1,168
1,196
1,168
1,196
1,196
1,196
1,196
1,168
1,196
1,196
Grote terts
1,25
1,28
1,25
1,25
1,25
1,25
1,28
1,25
1,28
1,25
1,25
1,28
1,25
Kwint
1,495
1,495
1,495
1,495
1,495
1,495
1,495
1,495
1,531
1,495
1,495
1,495
1,495
Middentoon
c
cis
d
es
e
f
fis
g
gis
a
b
h
C

Tabel 3.3: Kirnberger II
Halve toon
 1,054 1,068 1,054 1,055 1,067 1,055 1,067 ,1054 1,061 1,06 1,055 1,067 1,054
Kleine seconde
1,125
1,125
1,111
1,125
 1,125
1,125
1,124
1,118
1.125
1,118
1,125
1,124
1,125
Grote seconde
1,125
1,125
1,111
1,125
 1,125
1,125
1,124
1,118
1.125
1,118
1,125
1,124
1,125
Kleine terts
1.185
1.187
1,185
1,187
1,2
1,185
1,193
1,185
1,187
1,193
1,185
1,2
1,185
Grote terts
1,25
1,266
1,25
1,266
1,262
1,258
1,262
1,25
1,266
1,253
1,266
1,262
1,25
Kwint
1,5
1,5
1.491
1,5
1,5
1,5
1.498
1,5
1,5
1.491
1,5
1,5
1,5
Kirnberger II
c
cis
d
es
e
f
fis
g
gis
a
b
h
C
.
Kleurcode: reine toonafstand
  rein ± 0,5 komma (0,656 %)
  Pythagorische terts
  Pythagorische terts ± 0,5 komma (0,656 %)
  buiten tolerantie van ± 0,5 komma


2.3    Karakteristieken van tweeklanken: Kwintencirkel.....(inhoud)

Het is ook mogelijk om de eigenschappen van de belangrijkste tweeklanken op een kwintencirkel weer te geven, zoals in figuur 1.
De kleurcode van de lijnen in de figuur is gelijk aan de kleurcode in de tabellen hierboven.

Figuur 1

De tekening werd uitgewerkt voor het geval van een temperatuur volgens Kirnberger II.
De kwinten liggen zoals steeds op bogen van 30 graden op de cirkel, en de tertsen zijn koorden van 90 graden (kleine tertsen) of 120 graden (grote tertsen).
Figuur 1 bevat alle reine kleine tertsen, maar de andere kleine tertsen en de seconden en halve tonen werden voor de overzichtelijkheid niet getekend.

In figuur 1 valt op dat ALLE noten met elkaar verbonden zijn via groene (= reine) elementen, behalve de a ("la"). In andere woorden: de relatieve ligging van ALLE noten (behalve de a of "la") is heel precies bepaald op basis van eenvoudige toonhoogteverhoudingen (reine toonafstanden). De structuur van deze figuur is dus zeer star: deze figuur is niet vervormbaar zonder wijziging in de karakteristieken van de toonafstanden.
Het is zeer opvallend dat het precies de a ("la") is die buiten de groep valt, zeker indien men bedenkt dat het de a ("la") is die zo goed als steeds de referentietoonhoogte is in de klassieke muziek !
Een en ander dient hier gezien te worden in zijn geschiedkundige en traditionele context, om te begrijpen of aanvaarden dat de "la" tóch dé muzikale referentie-toonhoogte is. Het onderzoek hiervan is een studie op zich.
Zuiver technisch wetenschappelijk ware het op basis van bovenstaande vaststelling beter geweest een referentienoot te kiezen die zo centraal mogelijk ligt en met zoveel mogelijk groene verbindingslijnen, zoals bijvoorbeeld de g ("sol") die via vier reine tweeklanken met andere noten verbonden is, en die de "dominante" noot is van de grote terts toonladder in C ("do").
Gebruiken en tradities zijn in de klassieke muziek echter zo sterk dat elk mogelijk voorstel voor verandering van referentie-toonhoogte niet de minste kans op aanvaarding heeft. Hier dient onder andere ook te worden overwogen dat mits aanvaarding van zeer kleine afwijkingen ten overstaan van de volledige reinheid, de a ("la") nóg méér goede tweeklanken heeft: de a ("la") is in figuur 1 met ZES gele lijnen met andere noten verbonden.

Mogelijk praktisch gebruik van figuur 1:
De zwarte halve cirkel bedekt steeds de diatonische noten van één octaaf, en staat hier in een stand die overeenkomt met de toonaarden C (groot) en a (klein).
De grondnoten van de grote en kleine terts toonladders zijn op deze zwarte halve cirkel aangegeven door een zwart en een wit punt.
Gepaste rotatie van de zwarte halve cirkel laat toe om de karakteristieken van de akkoorden van andere toonaarden snel te overzien. De typerende karakteristieken van de verscheidene toonaarden zijn het gevolg van de verschillende karakakteristieken van de tweeklanken die in een toonaard bevat zijn, zoals zeer uitgebreid besproken in de werken van prof. H. Kelletat.
Men kan op de kwintencirkel hierboven nakijken dat de toonaarden C en a zeer veel reine toonafstanden bezitten, bij de stemwijze volgens Kirnberger II.
 

2.4 Karakterisiteken van de tweeklanken: Grafische vergelijking.....(inhoud)

In zijn boek geeft Kelletat voor de belangrijkste temperaturen afzonderlijke grafische voorstellingen van de afwijkingen van kwint, en van de grote en kleine terts.
Combinatie van de grafieken leidt tot de figuren die hieronder kunnen opgevraagd worden, waarbij de Pythagorische ladder voor deze figuren op een alternatieve wijze werd gedefinieerd (*).
Opvallende kenmerken van de "Bach-temperaturen" (zie paragraaf 1.6):

  • Ze sluiten zeer nauw bij elkaar aan, en zijn in groep tamelijk verschillend van de andere temperaturen
  • de afwijkingen van de kwinten zijn zeer beperkt (steeds kleiner dan ongeveer 5 cents)
  • de (grote en kleine) tertsen zijn zeer rein voor de hoofdtoonaarden, en ze gaan geleidelijkaan over in (grote en kleine) Pythagorische tertsen voor verwijderde toonaarden (+ 21,5 cents afwijking voor de grote Pythagorische terts, en - 21,5 cents afwijking voor de kleine Pythagorische terts)
Figure showing the
Deviation of Purity of
Fifhts
Figure showing the
Deviation of Purity of
Sharp Thirds
Figure showing the
Deviation of Purity of
Flat Thirds
Figure showing the
Deviation of Purity of
Fifhts for "Bach-temperaments"
Figure showing the
Deviation of Purity of
Sharp Thirds for "Bach-temp"
Figure showing the
Deviation of Purity of
Flat Thirds for "Bach-temp"
.
 (*) Alternatieve definitie van de Pythagorische toonladder:

 De normale definitie van de Pythagorische toonladder gebeurt als volgt:

  1. Vertrekkend van a opwaarts kwinten vormen die leiden tot d, g, c, f, bes, es, as, des, ges, ces, fes, beses, eses, …
  2. Vertrekkend van a afwaarts kwinten vormen die leiden tot e, b, fis, cis, gis, dis, ais, eis, bis, fisis, cisis, gisis, …
Voor het tekenen van de grafieken hierboven werd de Pythagorische ladder echter op een alternatieve wijze opgebouwd, opdat de vier meest zuivere grote tertsen in deze ladder zouden vallen op de noten d, g, c en f.
.
Deze alternatieve opbouw wordt bekomen door vetrekkend van a opwaarts kwinten te vormen, waarbij op sommige punten de naam van een noot dient vervangen te worden door de naam van een enharmonische noot. Dit geeft de reeks:
.
   a,  e,  b,  fis,  cis,  gis, (dis ->) es,  (ais ->)  bes, 
  (eis ->)  f,  (bis ->)  c,  (fisis ->)  g,  (cisis ->) d
.

INHOUD

Het stemmen van klassieke muziekinstrumenten bij middel van objectieve toonhoogtemeting
1    Inleiding.....
2    Toonhoogtes
    2.1    Algemeen
    2.2    Meten van de toonhoogte
    2.3    Meetinstrumenten
3    Besluit


Appendum 1    Kenmerken van de muzikale temperaturen....
    1    Elementaire muzikale kenmerken
        1.1    De Pythagorische temperatuur
        1.2    De natuurlijke (reine) temperatuur
        1.3    De gelijkzwevende temperatuur
        1.4    De middentoon-temperatuur
        1.5    Selectiestemmingen
        1.6    De "Welgetemperde Stemwijze"
        1.7    Verdere studie
   2    Muziek-technische analyse
        2.1    Basisgegevens
        2.2    Karakteristieken van de tweeklanken in functie van de temperatuur: overzicht
        2.3    Karakteristieken van de tweeklanken: kwintencirkel
        2.4    Karakteristieken van de tweeklanken: Grafische vergelijking

Appendum 2    Toonhoogte-meettechnieken...
    1    Gebruik van bestaande apparatuur
    2    Mogelijke verdere ontwikkelingen
    3    Praktische implementatie van de autocorrelatietechniek

Revision 2002-07-26