Welke regelmatige veelhoek
heeft vijf keer zoveel
diagonalen als zijden ?

A.   Een regelmatige achthoek
B.   Een regelmatige tienhoek
C.   Een regelmatige twaalfhoek
D.   Een regelmatige dertienhoek
E.   Een regelmatige vijftienhoek
                     
[ vwo33-(1s19) - op net sinds 31.1.2018 ]

Deze vraag werd gesteld op 17 januari 2018 tijdens de eerste ronde van de 33ste Wiskunde Olypiade (5de en 6de jaars)
29% van de deelnemers hadden het bij het juiste eind - 49% waren fout - 23% hebben niet geantwoord


Translation in   E N G L I S H
Which regular polygon
has five times as
many diagonals as sides ? 		A.   A regular octagon
B.   A regular decagon
C.   A regular dodecagon
D.   A regular tridecagon
E.   A regular pentadecagon

Oplossing - Solution
1ste manier :
Je kan natuurlijk voor elke veelhoek het aantal diagonalen gaan uitrekenen.
Zo verkrijg je voor een dertienhoek  ½13.10 = 65 wat precies 5 keer zoveel is als 13.
(10 komt van : uit elk hoekpunt vertrekken 13 −10 = 10 diagonalen;
  ½ want anders heb je elke diagonaal dubbel geteld)
N.B. Het aantal diagonalen kan je ook rechtstreeks berekenen met C132 − 13
2de manier : (de 'betere' manier)
Een regelmatige n-hoek heeft n zijden en  ½n(n − 3)  diagonalen.
Het antwoord is dus de oplossing van 2.5.n = n² − 3n  ⇔  13n = n².
De enig mogelijke oplossing voor ons probleem is dus  n = 13.
3de manier :
Oplossen van   5n = Cn2 − 13
⇔ 5n = ½.n.(n − 1) − 13
⇔ 10n = n² − n − 26
⇔ 0 = n² − 11n − 26    (deelbaar door n+2)
⇔ (n + 2)(n − 13) = 0
⇔ n = −2 ∨ n = 13
Het is duidelijk dat alleen de laatste waarde in aanmerking kan genomen worden.