Beschouw de ellips
x² + 4y² = 4 met
T( 0, −1 ) als één van de toppen.
Wat is de ordinaat (y-waarde) van het punt P in het eerste kwadrant, dat op die ellips ligt en de kleinste afstand d heeft tot T ?
Voor elk punt (x, y) van de ellips is de afstand d van T tot P gelijk aan
\(\small|PT|=\sqrt{(x-0)^2+(y+1)^2}=\sqrt{x^2+y^2+2y+1}\\=\sqrt{4-4y^2+y^2+2y+1}=\sqrt{-3y^2+2y+5}\)
|PT| is het kleinst als −3y² + 2y + 5 het kleinst is.
Vermits dit een kwadratische uitdrukking is hoeven we geen afgeleiden te gebruiken
(kan en mag natuurlijk) om de maximale waarde te kennen.
We hebben immers te doen met een
bergparabool (y = −3x² + 2x + 5
is de vergelijking van een bergparabool).
De maximale waarde bereiken we voor \(-\frac {b} {2a}=-\frac{2}{-6}=\frac13 \).
De corresponderende x-waarde volgt overigens uit
\(x^2=4-4(\frac13)^2=4-\frac49=\frac{32}9 ⇒ x=\pm \frac{4\sqrt2}{3} \)
( + in het eerste kwadrant ; x ≈ 1,8856 )
