Uit de verzameling met n getallen { 1, 2, ..., n }
neemt men willekeurig twee verschillende getallen.
Hoe groot moet n zijn opdat de kans
op twee opeenvolgende getallen (b.v. 4 en 3) precies 25% zou zijn ?
| A. 8 |
|---|
| B. 9 |
| C. 10 |
| D. 12 |
| E. 17 |
[ 6-5344 - op net sinds 11.2.13-(E)-20.12.2023 ]
Translation in E N G L I S H
From the set of numbers {1, 2, ..., n}
two different numbers are choosen at random.
How large must n be for any chance of two
consecutive numbers (eg. 4 and 3) to be exactly 25%?
|
A. 8 |
|---|
| B. 9 |
| C. 10 |
| D. 12 |
| E. 17 |
Oplossing - Solution
Uit de getallenverzameling {1, 2, 3, . . ., n} kan men op n − 1 manieren twee opeenvolgende getallen kiezen.
Met bv. {1,2,3,4} zijn dat de drie paren (1,2} {2,3} en {3,4}
Twee getallen kiezen uit {1, 2, 3, . . . , n} kan op \(C_n^2=\frac{n(n\,-\,1)}2\) manieren.
Zo ontstaat de vergelijking
\(\small\frac{n-1}{C_n^2}=\frac14\;\Leftrightarrow\;4n-4=\frac {n(n-1)}{2}\;\Leftrightarrow\;8n-8=n^2-n\\
\;\small\Leftrightarrow\;0=n^2-9n+8\;\Leftrightarrow\;(n-1)(n-8)=0\)
Van de twee oplossingen van deze vergelijking kan je slechts de grootste weerhouden want n moet minstens 2 zijn.
