De vijfde druk van "Mijnheer Albert" is in juni 2005
verschenen. Dit is een herwerkte druk, in het
kader van 100 jaar relativiteit. De vijfde druk van "Mijnheer Albert,
roman over de gedachte-experimenten van Einstein" is in juni 2005
verschenen. Dit is een herwerkte druk, in het kader van 100 jaar
relativiteit. Het is een beetje een "Einstein voor iedereen" of
een "Einstein voor beginners" boek, en zelfs een "Einstein
voor gevorderden boek".
Hier vind je een samenvatting van
het boek. Het is een beetje een "Einstein voor iedereen" of een
"Einstein voor beginners" boek, en zelfs een "Einstein voor
gevorderden boek" tenminste voor wie er van houdt ;-)) want het
begint wel eenvoudig maar het gaat toch wel heel ver, maar dan (bijna
helemaal) zonder wiskunde.
Esther krijgt een bijzonder geschenk van tante Suus. Ze is in de wolken want het geschenk heeft te maken met Albert Einstein die ze heel erg bewondert. Haar opa was een goede vriend van Einstein. Esther weet enkele zaken over de speciale en de algemene relativiteitstheorie, zoals het feit dat de tijd in een snel vliegtuig trager verloopt dan de tijd op aarde. Einstein is natuurlijk vooral bekend door de beroemdste formule aller tijden:
E=mc2 En hij heeft te maken met zwarte gaten en kernenergie. De meeste mensen denken dat al die zaken hun petje te boven gaan, maar een leraar op school heeft Esther verteld dat iedereen de theorieën van Einstein kan begrijpen.
Opa probeert Esther een kinderachtig verhaaltje op de mouw te spelden over hoe iemand haar iets kan leren over de relativiteitstheorie, maar Esther loopt er natuurlijk niet in.
Esther vindt het enigszins jammer dat opa’s verhaaltje niet waar kan zijn want ze zou zo graag over de relativiteitstheorie leren. Dan droomt ze - of is het geen droom? - dat opa’s verhaaltje toch waar is.
Ze is nogal verward als ze hoort dat de theorie van Einstein geen volledige breuk is met alles dat vóór hem bestond. Het was géén totale breuk met Newton en zijn theorie was een uitbreiding van de relativiteitstheorie van Galilei, waarvan Esther overigens nog nooit had gehoord. Einstein heeft nog meer overeenkomsten met Galilei: ze hebben beiden op dezelfde manier gewerkt. Het blijkt ook dat Einsteins theorie volgens Karl Popper een hoge waarde heeft omdat ze falsifieerbaar is: het is mogelijk om ze te testen. En wat meer is: één mislukte test, en hop, daar gaat Einsteins theorie. Zover is het nooit gekomen want de testen gaven Einstein gelijk.
Esther leert dat de formule E=mc2begrijpbaar is voor een meisje van vijftien. Om dit opmerkelijk resultaat te bereiken, leert Nils haar te begrijpen wat energie is, leert ze ook wat massa is - het is zeer opmerkelijk dat massa verschillend is van gewicht - en leert ze over de snelheid van het licht die steeds constant is. Haar kopje dreigt eventjes vol te geraken maar ze aanvaardt uiteindelijk toch dat we in het verleden kunnen kijken. En ze leert dat een warm strijkijzer zwaarder is dan een koud strijkijzer. Tussendoor leert ze de Eerste Hoofdwet van de Thermodynamica kennen die zegt dat de hoeveelheid energie constant is. Alhoewel, dat laatste klopt niet helemaal en hier zitten we meteen bij de eerste correctie die Einstein heeft toegepast. Want massa is energie en energie is massa. Hierdoor leert Esther hoe kernenergie werkt.
De volgende dag herinnert Esther zich haar volledige droom. Dat is leuk want ze heeft enkele interessante dingen geleerd.
Opa vertelt over het Institute of Advanced Study in Princeton waar Einstein heeft gewerkt en waar opa Einstein heeft leren kennen. Daar heeft Einstein ook de wiskundige Gödel leren kennen. Gödel zou eigenlijk veel beroemder moeten zijn dan hij is, want hij is de Einstein van de wiskunde. Gödel is de man van de Onvolledigheidsstelling die zegt dat de wiskunde niet volledig is: er zullen altijd wiskundige zaken zijn die de wiskunde nooit zal kunnen bewijzen. Wat erg. Alan Turing ging op hetzelfde spoor verder toen hij bewees dat er problemen zijn die nooit door computers opgelost zullen worden. Nog zoiets ergs. Na al dat dramatische nieuws mag Esther even in opa’s fotoboek kijken.
Esther stelt Nils vragen over de activiteiten van de waarnemers. Ze leert dat Hermann Minkowski de speciale relativiteitstheorie van Einstein in een mooi, elegant wiskundig kleedje heeft gegoten. Mooi en elegant en wiskunde? Haha. Enkele misvattingen over Einstein moeten uit de weg worden geruimd. Zo was Einstein niet dom en heeft hij een universitair diploma in wiskunde en natuurkunde behaald. Toch heeft hij bij het opstellen van zijn theorieën wat hulp nodig gehad van de pure wiskundigen. Die hebben dat zo goed gedaan dat hij zijn eigen theorie niet meer begreep. Zegt men. Een andere misvatting is dat bijna niemand zijn relativiteitstheorie kan begrijpen. Pure nonsens.
Trouwens, was Einstein wel zo knap? Galilei, Newton, Poincaré, Minkowski en anderen hebben blijkbaar een flinke vinger in de pap gehad. Maar híj heeft de puzzelstukjes van de anderen in elkaar gepast tot een mooie, samenhangende relativiteitstheorie.
Galilei en Einstein hebben beiden gedachte-experimenten gedaan. Enkel kwatongen beweren dat ze dit uit luiheid deden. In elk geval hadden ze daardoor waarnemers nodig die steentjes konden laten vallen en met treintjes konden rijden en zo.
Gedachte-experimenten kun je niet zomaar uitvoeren: je moet de hoofdwetten respecteren. Het zou vast een zootje worden als iedereen op zijn eigen manier gedachte-experimenten zou uitvoeren.
Esther redt tussendoor met glans de eer van het vrouwdom.
Een keer wordt Nils onverklaarbaar stil: gedachte-experimenten liepen immers niet goed af. Denken we maar aan het tweelingparadox-experiment.
Gödel komt weer op de proppen want hij heeft te maken met paradoxen. Maar dat moet opa maar uit de doeken doen.
Esther leert dat er drie soorten paradoxen zijn. De eerste twee zijn niet echt. De derde soort gelukkig wel. De eerste soort bestaat eerder uit een soort raadseltjes, bij de tweede soort speelt ons gezond verstand ons parten en de derde soort … daar kan ons verstand niet bij. De tweelingparadox van Einstein is er eentje van de tweede soort. Achilles en de schildpad nemen de hoofdrollen op zich in een andere van de tweede soort. De kapper die al dan niet zichzelf mag scheren, heeft de eer de spits af te bijten in de paradoxen van de derde soort. De Kretenzers worden opgevoerd en de bibliotheek en de niet-bestaande woorden 'autoloog' en 'antiloog'.
Voorwaar heel verhelderend.
Hoofdstuk 7: De tweede hoofdwet van de thermodynamica
Nils legt Esther op de rooster over de paradoxen. Ze doorstaat zijn kruisverhoor met glans.
Ze raakt even onder de indruk als ze de dramatische afloop van de tweelingparadox verneemt. Arme Max. Maar je kunt nu eenmaal geen omelet maken zonder eieren te breken.
Esther denkt er nu pas aan dat opa niet verteld heeft wat Gödel met paradoxen te maken heeft. Gelukkig kan Nils dit hiaat wegwerken.
Blijkt dat Esther graag zou zijn als de geest van Laplace die de toekomt en het verleden kan berekenen door gebruik te maken van de wetten van Newton. En die Napoleon een spitsvondig maar God-oneerbiedig antwoord gaf. Gelukkig heeft de Kerk een hele evolutie doorgemaakt.
De nieuwe ontwikkelingen van de wetenschap hebben de geest van Laplace wel naar het rijk der dromen en der fabelen verwezen.
Dezelfde wetenschap heeft ook het doodvonnis getekend van het perpetuum mobile, waar tot op de dag van vandaag niet iedereen van overtuigd is. Sommige mensen aanvaarden immers de Tweede Hoofdwet van de Thermodynamica niet (al dan niet bewust).
Wat Einstein heeft gedaan, is niet te vergelijken met het vinden van een perpetuum mobile. Om dat aan te tonen haalt Nils William van Ockham en zijn scheermes uit de kast.
Ondanks het feit dat Esther niet aan filosofie doet, krijgt ze toch het probleem voorgeschoteld dat veel mensen niet aanvaarden dat je niet sneller dan het licht kunt reizen. Daar zouden pas paradoxen van komen.
Opa mag dan wel geen wetenschappelijke knobbel hebben, hij kan toch heel veel interessants vertellen over Galileo Galilei, blijkbaar een van de eerste wetenschappers, tot schade en schande van Aristoteles. Zo verklaarde hij waarom alle voorwerpen wél even snel moeten vallen. Maar daarvoor moet je de hoofdzaken en de bijzaken wel van elkaar kunnen scheiden. Het is een onbeantwoorde vraag of Galileo echt stenen heeft laten vallen vanaf de toren van Pisa. Hij heeft in elk geval gedachte-experimenten uitgevoerd.
Esther leert tussendoor ook Tycho Brahe en Johannes Kepler kennen.
De wet der traagheid schijnt een zeer belangrijke wet te zijn die ook al door Galilei is ontdekt. Hierdoor vallen de voorwerpen in de vorm van een parabool die eigenlijk een ellips is. Kegelsneden dus. Kegels snijden was trouwens een favoriete bezigheid van de oude Grieken. Tegelijk leert Esther hoe de paraboolantenne van haar vader werkt.
Het is voor haar redelijk verwarrend als blijkt dat de meetkunde van Euclides niet de enige meetkunde is en dat je een driehoek met 3 rechte hoeken kunt maken.
Even is er nog meer verwarring als blijkt dat de speciale relativiteitstheorie van de gewone meetkunde gebruik maakt en de algemene relativiteitstheorie van de speciale meetkunde, maar dat wordt snel opgelost.
Esther heeft het moeilijk als blijkt dat ze Einstein pas zal kunnen
begrijpen als ze Galilei en Newton goed begrijpt. Maar haar honger naar de ware toedracht van de zaak wordt gesterkt als ze begrijpt waarom de maan, die door de aarde wordt aangetrokken, toch rond de aarde beweegt en niet naar de aarde valt. En als ze de traagheidswet van Galilei begrijpt. Nu snapt ze immers waarom je een voorwerp in een rijdende trein toch recht naar beneden ziet vallen. Dat blijkt dan de relativiteitstheorie van Galilei te zijn.
Leert ze dan toch meer en meer over Einstein door te leren van Einsteins voorgangers?
Esther leert meer over relativiteit en over temperaturen. Weer is er verwarring wanneer opa beweert dat licht krom kan vliegen maar hij gaat er niet verder op in. Nog meer verwarring als de vraag gesteld wordt of het heelal en de tijd absoluut zijn.
Voor opa Newton onder handen neemt, vertoeft hij een tijdje bij Tycho Brahe en Johannes Kepler. Vooral de drie wetten van Kepler zijn van groot belang. Ze hebben te maken met de banen die planeten rond de zon maken.
Newton is nog groter want hij heeft het verband gelegd tussen de kracht die een appel naar de aarde doet vallen en de kracht die de planeten rond de zon doet draaien. Een kanon blijkt hierbij van groot nut te zijn.
Ook Newton heeft 3 wetten geformuleerd. Deze wetten hebben te maken met de beweging die een voorwerp maakt als er een kracht op uitgeoefend wordt. Het verschil tussen snelheid en versnelling speelt hierbij een uitermate belangrijke rol. De differentiaalmeetkunde steekt voor het eerst haar kop op. Ook de massa speelt een uitermate belangrijke rol. Opa lijkt er nogal gemakkelijk over te gaan. In tegenstelling tot wat Nils had gezegd, beschouwt opa de massa een beetje als het gewicht.
De vraag hoe het nu precies zit met gewicht en massa, kwelt Esther. Opa geeft toe dat dit te maken heeft met de algemene relativiteitstheorie. Hij legt uit dat massa en gewicht eigenlijk niets met elkaar te maken hebben. Dat schept aanvankelijk nog meer verwarring.
Daarna wordt de zwaartekracht onder handen genomen. Hierbij treedt nog meer verwarring op want massa heeft nu wel te maken met de zwaartekracht. Opa geeft dan toe dat er twee soorten massa bestaan.
Opa spreekt over de planeet Vulcanus. Esther fronst de wenkbrauwen.
De verwarring wordt ten spits gedreven als de twee soorten massa's even groot blijken te zijn. Een verklaring kan hiervoor niet gegeven worden. Nog niet.
Opa pakt enkele filosofische aspecten van Newtons theorie aan. Deze hebben te maken met de vraag of de tijd en de ruimte al dan niet absoluut zijn. En wat te denken van de invariantie van de wetten van de dynamica ten opzichte van eenparig rechtlijnige bewegingen? Coördinatenstelsels, inertiaalstelsels en wereldlijnen steken nu de kop op. Inertiaalstelsels verdienen een bijzondere aandacht omdat ze een grote rol spelen in de speciale relativiteitstheorie.
Alle beweging lijkt relatief te zijn, en men besefte dat al vóór Einstein op de proppen kwam. Toch staat volgens Newton het heelal stil. Maar wat bedoelt hij daarmee? Gewoon, dat de ruimte absoluut is. De tijd is uiteraard ook absoluut. Dat laatste is Esthers eigen bevinding. Opa vindt dit grappig maar gaat er niet verder op in.
Esther licht Nils in over het absolute karakter van de ruimte en de tijd. Net zoals opa vindt ook Nils dit grappig.
Hoe kun je weten of twee dingen die ver van elkaar gebeuren al dan niet gelijktijdig zijn? Op het eerste gezicht is dat simpel. Maar bij nader toezien is het een harde noot om kraken.
Michelson en Morley treden aan. Hun ingenieuze experiment is belangwekkend, ook al heeft Einstein er, naar eigen zeggen, nooit van gehoord. Maxwell doet ook zijn intrede. Over hem heeft Einstein wel gehoord. De hele ruimte is gevuld met ether. Want licht bestaat uit golven en er moet toch iets zijn dat kan golven? En hoe zit het met de aarde? Beweegt de aarde door de ether of niet? De bewijzen blijken elkaar tegen te spreken.
Lorentz besluit hieruit dat voorwerpen die bewegen korter worden in hun bewegingsrichting. En bewegende horloges lopen trager. Niet helemaal echt, want eigenlijk is het een
fysische illusie.
Alweer verwarring wanneer zowel bewegende als stilstaande waarnemers kunnen beweren dat ze stilstaan of bewegen.
Nils oordeelt dat het genoeg geweest is: hij vat de koe van de speciale relativiteitstheorie bij de horens. Een plechtig moment zowaar. Nils geeft eerst een kort overzichtje van wat Esther heeft geleerd. Esther is hem hier dankbaar voor. Alle tegenstrijdigheden in het werk van zijn voorgangers heeft Einstein in een klap opgelost met zijn twee postulaten. Esther is ontgoocheld als ze de postulaten verneemt. Er protesteert als Nils zegt dat Einstein beweerde dat de snelheid van het licht voor iedereen dezelfde is, of je nu beweegt of niet. Dat lijkt in tegenspraak te zijn met de uitspraak van Einstein dat alle waarnemers gelijkwaardig zijn.
Alles wordt pas verwarrend als een gedachte-experiment duidelijk maakt dat gelijktijdigheid een vreemd verschijnsel blijkt te zijn. Is dit een paradox? En zo ja, welk soort? En de lengte van een trein is blijkbaar ook niet meer wat ze altijd is geweest.
Esther leert meer over de vierde dimensie. Het is een verrassing voor haar dat niet Einstein maar wel Minkowski de uitvinder van de vierde dimensie is. Ook de ware betekenis van de vierde dimensie wordt duidelijk: tijd is niet zomaar de vierde dimensie.
Wie denkt dat het eenvoudig is om de lengte van een rijdende trein te meten, vergist zich deerlijk.
Esther komt tot een verbijsterende conclusie wat betreft het trager lopen van bewegende horloges.
Minkowski komt op de proppen met schema’s die bedoeld zijn om de zaken te vereenvoudigen. Het wordt een hele klus, maar eens Esther het
systeem door heeft, lukt het wel. Dan is het logisch dat het licht een hoek van 45 graden maakt.
Maar dan: hoe kan de ene meetlat korter zijn dan de andere en hoe kan die tweede tegelijk korter zijn dan de eerste? De gelijkwaardigheid van waarnemers schijnt toch moeilijker te zijn dan op het eerste gezicht gedacht. Bewegende horloges lopen niet zomaar trager dan stilstaande horloges. En wat is stilstand? En wat is beweging?
Het verschil tussen de theorie van Lorentz en de theorie van Einstein is ook niet eenvoudig te vatten.
Einstein brengt een ode aan Minkowski, Gauss, Riemann, Christoffel, Ricci en Levi-Cività. Esther prijst zich ongetwijfeld gelukkig dat ze het werk van deze eerbiedwaardige heren aan zich mag laten voorbijgaan.
Als uitsmijter krijgt Esther de oplossing voorgeschoteld van het vraagstuk hoe je een wagen van 4 meter in een garage van 3 en een halve meter kunt parkeren.
Pythagoras doet ook een duit in het zakje. Met een kleine aanpassing blijkt zijn stelling ook bij Einstein op te gaan. Maar dat is dan de uiting van het feit dat ruimte en tijd niet meer bestaan. Of hoe de tijd de vierde dimensie niet is, maar er wel deel van uitmaakt.
Als het regent in Parijs, dan druppelt het in Brussel. Of hoe Brussel en Parijs op dezelfde plaats liggen, maar op een ander moment. En hoe muonen dit op een zeer opmerkelijke manier illustreren.
Hoe een kegel de abstractie van de speciale relativiteitstheorie belichaamt. Wat als gevolg heeft dat wie sneller reist dan het licht, in de tijd achteruitgaat.
Hoofdstuk 16: Nog meer gevolgen van de relativiteitstheorie
Esther stelt zichzelf en Nils de vraag wat een waarnemer die met een lichtstraal meereist, ziet. Esther vindt een mogelijkheid om twee treinen met een relatieve snelheid die groter is dan de lichtsnelheid te laten rijden. Nils stelt haar teleur maar Esther houdt vol. Wat gebeurt er als je een constante kracht uitoefent op een voorwerp? Dan versnelt het voorwerp toch voortdurend totdat het zelfs sneller gaat dan het licht? Nils brengt hier de rustmassa ter sprake. Esther merkt terecht op dat het hier moet gaan over de trage massa. Maar hoe zit het dan met de zware massa en de zwaartekracht? Nu blijkt dat de speciale relativiteitstheorie niet zomaar iets kan zeggen over de zwaartekracht. En nu wordt de cirkel rondgemaakt want er wordt een verband gelegd met de beroemdste formule aller tijden:
E=mc2. Esther heeft goed opgelet en merkt terecht op dat Nils de zware massa en de trage massa aan het verwarren is.
Niet alles is relatief in de relativiteitstheorie. Met een elegant wiskundig trucje, dat Esther vergezocht lijkt, tovert Nils prachtige invarianties te voorschijn. Blijkt dat dit trucje Einstein op de goede weg heeft gezet voor de algemene relativiteitstheorie.
Zelfs de meest enthousiaste leerling moet er even uit. Doppler en Napoleon komen roet in het eten gooien. Treinen en lichtgolven blijken aan een speciaal effect onderworpen te zijn. Het is een fluitje van een cent om dit aan de man en aan de vrouw te brengen.
Esther legt Nils een probleem voor dat te maken heeft met het gelijkzetten van horloges en gelijktijdigheid in het algemeen. Klopt de relativiteitstheorie wel? De relativiteitstheorie klopt en Esthers inzicht is alweer toegenomen.
De tweelingparadox wordt weer bovengehaald maar blijkt de tweelingparadox niet te zijn. Snelheid is immers relatief. Waarom wordt de ene broer dan toch jonger dan de andere? Nils geeft twee verklaringen; een is van Doppler.
De algemene relativiteitstheorie komt ter sprake. Het wordt tijd om daar eens iets meer over te leren, vindt Esther. Nils gaat akkoord: morgen is het zover.
Mijnheer Albert hield van gedachte-experimenten. Voor de algemene relativiteitstheorie heeft hij er een hele reeks met liften op stapel gezet. Hiermee toont hij aan dat er geen verschil is tussen een vallende lift en een lift in de vrije ruimte. Of tussen een lift op aarde en een lift die aan een touw omhoog getrokken wordt in de vrije ruimte. Er is bijna geen verschil. Hier duikt de vraag op of het licht een gewicht heeft.
De algemene relativiteitstheorie draait blijkbaar om het equivalentieprincipe
en eb en vloed.
Esther windt zich op als blijkt dat de voorbereidende werkzaamheden slechts voor de helft afgewerkt zijn.
Esther komt verrassende dingen te weten over Nils. Hersenen-op-sap zijn geen
fijnproevergerecht.
Over de meetkunde houden Esther en Nils er een verschillende mening op na: is meetkunde nu het saaiste ter wereld, of is het de edelste tak van de wiskunde? In elk geval: meetkunde is nodig om de algemene relativiteitstheorie te begrijpen.
Esther vindt dat het welletjes is geweest: ze eist dat Nils onmiddellijk en ter plekke de kern van de algemene relativiteitstheorie uit de doeken doet. Nils gaat erop in, maar of Esther nu een stap verder staat, is een open vraag. Het gaat in elk geval over gekromde ruimtes. En die gekromde ruimtes kunnen alleen wiskundig beschreven worden met differentialen. Dat zijn moeilijke dingen om moeilijke dingen op een eenvoudige manier te beschrijven. Al is dat laatste ook weer relatief.
Esther heeft nu alle puzzelstukjes leren kennen, maar hoe de puzzel eruit ziet, is nog een raadsel.
De puzzel blijkt "algemene relativiteit" te heten. Die blijkt ook over de gelijkwaardigheid van waarnemers te gaan. En die moest de zwaartekracht en de speciale relativiteit verenigen.
De discussie over de zware massa en de trage massa krijgt zijn beslag. Met een hoogst opmerkelijke conclusie overigens. De verwarring neemt toe. Naast Euclides komt ook Pythagoras op de proppen. Hoe moet je je rechte lijnen in een kromme ruimte voorstellen? En erger: hoe stel je je een kromme tijd voor?
Blijkt dat Nils de algemene relativiteit heeft verklaard, maar voor Esther is het een koude douche.
Esther heeft vragen over de ondraaglijke kromheid van het bestaan. Nils vergelijkt de speciale en de algemene relativiteit. De speciale relativiteit is moeilijk te vatten, maar de wiskunde is gemakkelijk. De algemene relativiteit is dan weer gemakkelijk (nou ja) te vatten, maar de wiskunde is niet van de poes.
Tensoren en de Big Bang doen hun intrede.
Esther vraagt erop los. Nils antwoordt gezwind en legt tussendoor uit hoe men de algemene relativiteitstheorie heeft kunnen testen. De cirkel is nog meer rond als Kurt Gödel weer opduikt. Kegeltjes blijken een cruciale rol te spelen om de algemene relativiteitstheorie te begrijpen. Net zoals ze al een hoofdrol speelden bij de speciale
relativiteitstheorie.
Als zwaartekracht niet bestaat, waarom vallen de voorwerpen dan? Een zwart gat blijkt geen monopolie te zijn van de algemene relativiteit. Ook Newtons theorie kon ze al voorspellen.
Nils moet het antwoord schuldig blijven op de vraag of het heelal eindig is of niet. En met wormgaten wordt de dag afgesloten. Esther weet nu alles wat er te weten valt over de speciale en de algemene relativiteitstheorie.
Esther heeft geen droom gehad. Maar nu wel op school. De leraar stelt voor een gedachte-experiment te doen. Esther gaat erop in en voert het met glans uit. Tot verbazing van zowel de hele klas als de leraar.
