Ik ben klaar met denken over de kinetische gastheorie. Er
is een tijd van denken en een tijd van doen. Twee weken geleden is de tijd van
doen gekomen: ik ben dan over de kinetische gastheorie beginnen schrijven. Ik
wil er een doctoraatsthesis over maken.
Ik wil hier even de stand van zaken van de kinetische
gastheorie weergeven. De kinetische gastheorie is dus een theorie die
veronderstelt dat een gas uit een zeer groot aantal zeer kleine bolletjes
bestaat, vele miljarden keer miljarden piepkleine bolletjes, die willekeurig
door elkaar vliegen. Bij eenzelfde gas hebben ze allemaal dezelfde massa (zeg
maar gewicht) en ze zijn zo klein dat ze nooit tegen elkaar botsen. Ze vliegen
gewoon rechtdoor tot ze een wand of een andere hindernis raken. Ze kaatsen daar
terug en vliegen dan naar een andere wand, waar ze weer terugkaatsen, enzovoort.
Hierbij vliegen ze in alle richtingen: van links naar rechts, van voor naar
achter, van boven naar onder en omgekeerd. Allemaal willekeurig door elkaar en
met verschillende snelheden.
De druk van een gas is het gevolg van de vele miljarden
keer miljarden piepkleine botsingetjes per seconde van de bolletjes met de wand
van het recipiënt dat het gas bevat (bijvoorbeeld een ballon, een fles). Omdat
de bolletjes zo klein zijn en er zoveel bolletjes zijn, oefent het gas een
constante druk uit, ook al bewegen de bolletjes met verschillende snelheden en
zijn de botsingetjes niet even groot.
We kunnen op basis van dit eenvoudige model een aantal
berekeningen maken, waarbij we de bewegingswetten van Newton gebruiken. We
kennen de bewegingen van de individuele bolletjes niet maar we kunnen wel
spreken over de gemiddelde snelheid en de gemiddelde energie van de bolletjes.
We nemen trouwens ook aan dat alle energie van het gas uit de bewegingsenergie
van de bolletjes bestaat: behalve de bewegingsenergie van de bolletjes bezit het
gas geen energie. Op basis van deze veronderstellingen kunnen we het verband
berekenen tussen de druk van het gas, de totale energie van het gas (dat is dan
de som van de energie van alle bolletjes) en het volume. Een berekening leert
ons dat dit verband gelijk is aan: p=(2/3) (E/V). Hierbij is p de
druk van het gas, E de totale energie van het gas en V het volume
van het gas. De druk van een gas is dus gelijk aan twee derden keer de totale
energie van het gas gedeeld door het volume van het gas. Die totale energie is
trouwens gelijk aan het aantal bolletjes, wat we N noemen,
vermenigvuldigd met de gemiddelde energie per bolletje. Dat is logisch
want de gemiddelde energie per bolletje is gelijk aan de totale
energie van de bolletjes gedeeld door het aantal bolletjes.
Uit die formule kunnen we een aantal conclusies trekken.
Die conclusies kunnen we beschouwen als voorspellingen van de theorie en die
voorspellingen kunnen we via experimenten controleren. Uit de formule p=(2/3)
(E/V) volgt bijvoorbeeld dat druk en volume van een gas omgekeerd evenredig
zijn. Verdubbel je het volume van een bepaalde hoeveelheid gas (door het gas te
laten expanderen of uitzetten), dan vermindert de druk met de helft. Verminder
je het volume van dezelfde hoeveelheid gas (door het gas samen te persen), dan
verdubbelt de druk. Dat is dus een voorbeeld van een voorspelling van ons model
en we kunnen nu nagaan of dit met de werkelijkheid klopt. En inderdaad, het
klopt want Robert Boyle heeft dit al in de zeventiende eeuw experimenteel
vastgesteld, tenminste als de temperatuur van het gas gelijk blijft bij het
veranderen van het volume en de druk. Alvast één goed punt voor ons model.
Door het voorgaande te combineren met een andere
experimentele wet, namelijk die van Charles, volgt dat de gemiddelde energie per
bolletje enkel van de temperatuur van het gas afhangt. De formule
hiervoor is eenvoudig als je de temperatuur in Kelvin uitdrukt: hierbij is 0
Kelvin gelijk aan de laagst mogelijke temperatuur in het heelal, dat is ongeveer
–273 graden Celsius. 0 graden Celsius is gelijk aan 273 Kelvin. En
bijvoorbeeld 30 graden Celsius is gelijk aan 303 Kelvin.
De formule voor de gemiddelde energie per bolletje luidt
dan: de gemiddelde energie per bolletje is gelijk aan een bepaald vast getal
vermenigvuldigd met de temperatuur in Kelvin. Dat bepaald vast getal schrijven
we als (3/2) k, dus anderhalve keer een bepaald getal k. Die k
is een heel belangrijk getal: het is de constante van Boltzmann, genoemd naar
Ludwig Boltzmann. In de formule voor gemiddelde energie werken we met (3/2)k
en niet met k omdat de daaruit volgende formules dan eenvoudiger worden.
De formule voor de gemiddelde energie per bolletje luidt
dus: <e> = (3/2) kT. Die <e> is de gemiddelde energie
per bolletje, T de temperatuur in Kelvin en k dus de constante van
Boltzmann. De gemiddelde energie per bolletje is dus gelijk aan anderhalve keer
de constante van Boltzmann vermenigvuldigd met de temperatuur in Kelvin. Hoe
hoger de temperatuur, hoe groter de gemiddelde energie per bolletje.
Bijvoorbeeld: verdubbel je de temperatuur, dan verdubbelt de gemiddelde energie
per bolletje. Aangezien het getal k de evenredigheid tussen de gemiddelde
energie en de temperatuur uitdrukt, is k dus een maat voor de hoeveelheid
energie van het gemiddelde bolletje per Kelvin.
En we zijn nog niet aan het einde van het verhaal. Als we
de formule van de gemiddelde energie combineren met de formule over het verband
tussen druk en volume, dan vinden we op een eenvoudige manier de formule
pV=NkT. In woorden is dat: de druk van een gas (p) vermenigvuldigd
met het volume van het gas (V) is gelijk aan het aantal bolletjes waaruit
het gas bestaat (N), vermenigvuldigd met de constante van Boltzmann (k)
en vermenigvuldigd met de temperatuur in Kelvin (T). Dat is de zogenaamde
wet van de ideale gassen. De ideale gassen zijn dus alle gassen die
voldoen aan de voorwaarden die we hebben beschreven, zoals bijvoorbeeld dat ze
uit een heel groot aantal allemaal gelijke kleine bolletjes bestaan enzovoort.
Die wet voor ideale gassen kunnen we nu voor echte gassen testen. Dan weten we
meteen welke echte gassen zich als ideale gassen gedragen.
Die wet van de ideale gassen is trouwens heel opmerkelijk
omdat de hoeveelheid van het gas wordt uitgedrukt als het aantal bolletjes,
en bijvoorbeeld niet als de massa, het gewicht als het ware. De massa van die
bolletjes speelt dus geen enkele rol. Het heeft dus geen belang of de bolletjes
waaruit het gas bestaat relatief zwaar of licht zijn. Het moet natuurlijk over
ideale gassen gaan en daarom moet het gas uit miljarden keer miljarden bolletjes
bestaan, maar zelfs dan kunnen de bolletjes van het ene ideale gas tien keer
zwaarder zijn dan de bolletjes van een ander ideaal gas. Maar dat speelt dus
geen rol.
Om de wet anders uit te drukken: gelijke volumes van
verschillende gassen bestaan bij gelijke druk en gelijke
temperatuur uit evenveel bolletjes. Als je dus een liter van een bepaald
gas hebt en een liter van een ander gas, en je bekijkt die bij dezelfde
temperatuur en bij dezelfde druk, dan bestaan beide gassen uit evenveel
bolletjes.
Die bolletjes komen natuurlijk overeen met de moleculen van
het gas en die wet is dan gelijk aan de wet van Avogadro, die soms de wet van
Loschmidt, naar Josef Loschmidt, wordt genoemd. Amedeo Avogadro had die wet uit
experimenten afgeleid. En nu hebben we die wet dus op een theoretische manier
uit de kinetische gastheorie afgeleid. Met onze kinetische gastheorie hebben we
dus nog een resultaat afgeleid dat met de experimenten overeenkomt. Al twee
goede punten voor ons model!
Het aantal moleculen dat je volgens de wet van Avogadro
hebt, wordt uitgedrukt als een veelvoud van het getal van Avogadro. Dat is een
zeer groot getal, ongeveer
, dat is 6 keer 10 tot de macht 26, of dus een zes gevolgd door 26 nullen.
Hieruit volgt dus inderdaad dat je onvoorstelbaar veel moleculen in een liter
echt gas hebt en dat de moleculen in een echt gas dus inderdaad heel klein zijn.
En dan zijn ze eigenlijk nog veel kleiner dan dat omdat Avogadro zei dat die
moleculen dan nog eens veel en veel kleiner zijn dan de afstand tussen de
moleculen. Die onvoorstelbaar veel moleculen nemen dus allemaal samen bijna geen
plaats in. Als je ze allemaal tegen elkaar zou leggen in een hoekje van die
liter, zou je ze niet eens zien liggen. Ook dat komt overeen met een van de
veronderstellingen van onze kinetische gastheorie: we hebben immers gezegd dat
de bolletjes zo klein zijn dat ze nooit met elkaar botsen.
En we zijn nog niet aan het einde van dit boeiende relaas.
We hebben berekend dat de gemiddelde energie per molecule van een ideaal gas
gelijk is aan (3/2)kT. Aangezien in onze kinetische gastheorie alle
energie van een gas uit bewegingsenergie bestaat, kunnen we hieruit de
gemiddelde snelheid van de moleculen berekenen. Of preciezer gezegd, het
gemiddelde van het kwadraat van de snelheden van de moleculen. Als we hiervan de
vierkantswortel nemen, bekomen we een soort gemiddelde snelheid maar die is niet
gelijk aan de echte gemiddelde snelheid van de moleculen omdat in het algemeen
de vierkantswortel van het gemiddelde van de kwadraten van een reeks van
getallen niet gelijk is aan het gemiddelde van die reeks van getallen. Maar dat
is een technisch detail waar we hier niet moeten van wakker liggen.
Die soort gemiddelde snelheid blijkt na een berekening
gelijk te zijn aan
. Dat is dus de vierkantswortel van 3 keer het getal van Boltzmann
vermenigvuldigd met de temperatuur in Kelvin en gedeeld door de massa (zeg maar
het gewicht) van een molecule. Voor zuurstofgas is die snelheid bij
kamertemperatuur ongeveer gelijk aan 500 meter per seconde. Voor waterstofgas is
die snelheid bij kamertemperatuur ongeveer gelijk aan 2000 meter per seconde.
Dat is dus telkens ongeveer de gemiddelde snelheid van de moleculen. Als je
bijvoorbeeld waterstofgas in een vat van 1 meter diameter bewaart, dan gaan alle
moleculen dus per seconde 1000 keer heen en weer tussen twee tegenover elkaar
liggende wanden van dat vat. De moleculen bewegen dus ontzettend snel.
We kennen nu dus ongeveer het gemiddelde van de snelheden
van de moleculen maar we kennen niet de snelheid van de individuele moleculen.
Sommigen gaan sneller dan dat gemiddelde, sommigen gaan trager. Maar we weten
bijvoorbeeld niet of de verschillen tussen de individuele moleculen groot zijn
of niet. We kunnen wel op basis van bepaalde theorieën een model opstellen van
hoe de snelheden verdeeld zijn. Een bekend model van de verdeling van de
snelheden is de Maxwell-Boltzmann-verdeling. Dat is een bepaalde wiskundige
functie die beschrijft hoe de snelheidsverdeling van de moleculen eruit ziet.
Die functie hangt onder andere van de temperatuur af. Hoe hoger de temperatuur
van het gas hoe groter de spreiding van de snelheden en dus hoe groter de
verschillen van de snelheden tussen de moleculen.
Dat is allemaal niets nieuws. Dat is allemaal al goed
gekend. Maar ik wil hier dus iets nieuws aan breien en daar een doctoraatsthesis
over maken. Meer bepaald wil ik dit toepassen op de electrolyse, dat is het
ontbinden van stoffen door elektriciteit.